{l}{m/2+n/3=2}{m/3-n=5} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { m } { 2 } + \frac { n } { 3 } = 2 } \\ { \frac { m } { 3 } - n = 5 } \end{array} \right.$$

m, nని పరిష్కరించండి

$$m=6$$

$$n=-3$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న mని వేరు చేయడం ద్వారా mని పరిష్కరించండి.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{n}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{2}m=-\frac{1}{3}n+2$$

రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$m=2\left(-\frac{1}{3}n+2\right)$$

2 సార్లు -\frac{n}{3}+2ని గుణించండి.

$$m=-\frac{2}{3}n+4$$

మరొక సమీకరణములో mను -\frac{2n}{3}+4 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, \frac{1}{3}m-n=5.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}n+4\right)-n=5$$

\frac{1}{3} సార్లు -\frac{2n}{3}+4ని గుణించండి.

$$-\frac{2}{9}n+\frac{4}{3}-n=5$$

-nకు -\frac{2n}{9}ని కూడండి.

$$-\frac{11}{9}n+\frac{4}{3}=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{11}{9}n=\frac{11}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{11}{9}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$n=-3$$

m=-\frac{2}{3}n+4లో nను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$m=-\frac{2}{3}\left(-3\right)+4$$

-\frac{2}{3} సార్లు -3ని గుణించండి.

$$m=2+4$$

2కు 4ని కూడండి.

$$m=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=6,n=-3$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\left(-1\right)-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}&\frac{6}{11}\\\frac{6}{11}&-\frac{9}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{11}\times 2+\frac{6}{11}\times 5\\\frac{6}{11}\times 2-\frac{9}{11}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}6\\-3\end{matrix}\right)$$

m మరియు n మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$m=6,n=-3$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$\frac{1}{2}m+\frac{1}{3}n=2,\frac{1}{3}m-n=5$$

\frac{m}{2} మరియు \frac{m}{3}ని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{3}తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను \frac{1}{2}తో గుణించండి.

$$\frac{1}{3}\times \frac{1}{2}m+\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}n=\frac{1}{3}\times 2,\frac{1}{2}\times \frac{1}{3}m+\frac{1}{2}\left(-1\right)n=\frac{1}{2}\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$\frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n=\frac{2}{3},\frac{1}{6}m-\frac{1}{2}n=\frac{5}{2}$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా \frac{1}{6}m-\frac{1}{2}n=\frac{5}{2}ని \frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n=\frac{2}{3} నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{6}m-\frac{1}{6}m+\frac{1}{9}n+\frac{1}{2}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

-\frac{m}{6}కు \frac{m}{6}ని కూడండి. \frac{m}{6} మరియు -\frac{m}{6} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\frac{1}{9}n+\frac{1}{2}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

\frac{n}{2}కు \frac{n}{9}ని కూడండి.

$$\frac{11}{18}n=\frac{2}{3}-\frac{5}{2}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{5}{2}కు \frac{2}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$\frac{11}{18}n=-\frac{11}{6}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{11}{18}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$n=-3$$

\frac{1}{3}m-n=5లో nను -3 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు mని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$\frac{1}{3}m-\left(-3\right)=5$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 3ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{1}{3}m=2$$

రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$m=6$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$m=6,n=-3$$