{l}{5(x-3)/4-3(2y+1)/10=4-7(x+y+1)/8}{6x-5(2y-7)=21} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 5 ( x - 3 ) } { 4 } - \frac { 3 ( 2 y + 1 ) } { 10 } = \frac { 4 - 7 ( x + y + 1 ) } { 8 } } \\ { 6 x - 5 ( 2 y - 7 ) = 21 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{329}{229} = 1\frac{100}{229} \approx 1.436681223$$

$$y = \frac{518}{229} = 2\frac{60}{229} \approx 2.262008734$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 40తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50ని పొందడం కోసం 10 మరియు 5ని గుణించండి.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3తో 50ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12ని పొందడం కోసం -4 మరియు 3ని గుణించండి.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1తో -12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162ని పొందడం కోసం 12ని -150 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1తో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3ని పొందడం కోసం 7ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7yతో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

రెండు వైపులా 35xని జోడించండి.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85xని పొందడం కోసం 50x మరియు 35xని జత చేయండి.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

రెండు వైపులా 35yని జోడించండి.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11yని పొందడం కోసం -24y మరియు 35yని జత చేయండి.

$$85x-162+11y=-15$$

రెండు వైపులా 162ని జోడించండి.

$$85x+11y=-15+162$$

147ని పొందడం కోసం -15 మరియు 162ని కూడండి.

$$85x+11y=147$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2y-7తో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-10y+35=21$$

రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-10y=21-35$$

-14ని పొందడం కోసం 35ని 21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-10y=-14$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$85x+11y=147$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 11yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$85x=-11y+147$$

రెండు వైపులా 85తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{85}\left(-11y+147\right)$$

\frac{1}{85} సార్లు -11y+147ని గుణించండి.

$$x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-11y+147}{85} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 6x-10y=-14.

$$6\left(-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}\right)-10y=-14$$

6 సార్లు \frac{-11y+147}{85}ని గుణించండి.

$$-\frac{66}{85}y+\frac{882}{85}-10y=-14$$

-10yకు -\frac{66y}{85}ని కూడండి.

$$-\frac{916}{85}y+\frac{882}{85}=-14$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{882}{85}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{916}{85}y=-\frac{2072}{85}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{916}{85}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{518}{229}$$

x=-\frac{11}{85}y+\frac{147}{85}లో yను \frac{518}{229} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{11}{85}\times \frac{518}{229}+\frac{147}{85}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{11}{85} సార్లు \frac{518}{229}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{5698}{19465}+\frac{147}{85}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{5698}{19465}కు \frac{147}{85}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{329}{229}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 40తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50ని పొందడం కోసం 10 మరియు 5ని గుణించండి.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3తో 50ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12ని పొందడం కోసం -4 మరియు 3ని గుణించండి.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1తో -12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162ని పొందడం కోసం 12ని -150 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1తో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3ని పొందడం కోసం 7ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7yతో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

రెండు వైపులా 35xని జోడించండి.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85xని పొందడం కోసం 50x మరియు 35xని జత చేయండి.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

రెండు వైపులా 35yని జోడించండి.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11yని పొందడం కోసం -24y మరియు 35yని జత చేయండి.

$$85x-162+11y=-15$$

రెండు వైపులా 162ని జోడించండి.

$$85x+11y=-15+162$$

147ని పొందడం కోసం -15 మరియు 162ని కూడండి.

$$85x+11y=147$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2y-7తో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-10y+35=21$$

రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-10y=21-35$$

-14ని పొందడం కోసం 35ని 21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-10y=-14$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}85&11\\6&-10\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{85\left(-10\right)-11\times 6}&-\frac{11}{85\left(-10\right)-11\times 6}\\-\frac{6}{85\left(-10\right)-11\times 6}&\frac{85}{85\left(-10\right)-11\times 6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}&\frac{11}{916}\\\frac{3}{458}&-\frac{85}{916}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}147\\-14\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{458}\times 147+\frac{11}{916}\left(-14\right)\\\frac{3}{458}\times 147-\frac{85}{916}\left(-14\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{329}{229}\\\frac{518}{229}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 40తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,10,8.

$$10\times 5\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

50ని పొందడం కోసం 10 మరియు 5ని గుణించండి.

$$50\left(x-3\right)-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x-3తో 50ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-150-4\times 3\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-12ని పొందడం కోసం -4 మరియు 3ని గుణించండి.

$$50x-150-12\left(2y+1\right)=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

2y+1తో -12ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-150-24y-12=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

-162ని పొందడం కోసం 12ని -150 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-162-24y=5\left(4-7\left(x+y+1\right)\right)$$

x+y+1తో -7ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-162-24y=5\left(4-7x-7y-7\right)$$

-3ని పొందడం కోసం 7ని 4 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$50x-162-24y=5\left(-3-7x-7y\right)$$

-3-7x-7yతో 5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$50x-162-24y=-15-35x-35y$$

రెండు వైపులా 35xని జోడించండి.

$$50x-162-24y+35x=-15-35y$$

85xని పొందడం కోసం 50x మరియు 35xని జత చేయండి.

$$85x-162-24y=-15-35y$$

రెండు వైపులా 35yని జోడించండి.

$$85x-162-24y+35y=-15$$

11yని పొందడం కోసం -24y మరియు 35yని జత చేయండి.

$$85x-162+11y=-15$$

రెండు వైపులా 162ని జోడించండి.

$$85x+11y=-15+162$$

147ని పొందడం కోసం -15 మరియు 162ని కూడండి.

$$85x+11y=147$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2y-7తో -5ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$6x-10y+35=21$$

రెండు భాగాల నుండి 35ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-10y=21-35$$

-14ని పొందడం కోసం 35ని 21 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$6x-10y=-14$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$85x+11y=147,6x-10y=-14$$

85x మరియు 6xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 85తో గుణించండి.

$$6\times 85x+6\times 11y=6\times 147,85\times 6x+85\left(-10\right)y=85\left(-14\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$510x+66y=882,510x-850y=-1190$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 510x-850y=-1190ని 510x+66y=882 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$510x-510x+66y+850y=882+1190$$

-510xకు 510xని కూడండి. 510x మరియు -510x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$66y+850y=882+1190$$

850yకు 66yని కూడండి.

$$916y=882+1190$$

1190కు 882ని కూడండి.

$$916y=2072$$

రెండు వైపులా 916తో భాగించండి.

$$y=\frac{518}{229}$$

6x-10y=-14లో yను \frac{518}{229} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$6x-10\times \frac{518}{229}=-14$$

-10 సార్లు \frac{518}{229}ని గుణించండి.

$$6x-\frac{5180}{229}=-14$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5180}{229}ని కూడండి.

$$6x=\frac{1974}{229}$$

రెండు వైపులా 6తో భాగించండి.

$$x=\frac{329}{229}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{329}{229},y=\frac{518}{229}$$