{l}{3x-1/2-4y-7/3=2}{3y-6/4-5-x/6=-1frac{5}{12}} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 3 x - 1 } { 2 } - \frac { 4 y - 7 } { 3 } = 2 } \\ { \frac { 3 y - 6 } { 4 } - \frac { 5 - x } { 6 } = - 1 \frac { 5 } { 12 } } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=1$$

$$y=1$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

4y-7తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-3-8y+14=12$$

11ని పొందడం కోసం -3 మరియు 14ని కూడండి.

$$9x+11-8y=12$$

రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-8y=12-11$$

1ని పొందడం కోసం 11ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-8y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3y-6తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

5-xతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28ని పొందడం కోసం 10ని -18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12ని పొందడం కోసం 1 మరియు 12ని గుణించండి.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17ని పొందడం కోసం 12 మరియు 5ని కూడండి.

$$9y-28+2x=-17$$

రెండు వైపులా 28ని జోడించండి.

$$9y+2x=-17+28$$

11ని పొందడం కోసం -17 మరియు 28ని కూడండి.

$$9y+2x=11$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$9x-8y=1$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 8yని కూడండి.

$$9x=8y+1$$

రెండు వైపులా 9తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{9}\left(8y+1\right)$$

\frac{1}{9} సార్లు 8y+1ని గుణించండి.

$$x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{8y+1}{9} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 2x+9y=11.

$$2\left(\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}\right)+9y=11$$

2 సార్లు \frac{8y+1}{9}ని గుణించండి.

$$\frac{16}{9}y+\frac{2}{9}+9y=11$$

9yకు \frac{16y}{9}ని కూడండి.

$$\frac{97}{9}y+\frac{2}{9}=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{2}{9}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\frac{97}{9}y=\frac{97}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{97}{9}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=1$$

x=\frac{8}{9}y+\frac{1}{9}లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{8+1}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{8}{9}కు \frac{1}{9}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=1$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

4y-7తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-3-8y+14=12$$

11ని పొందడం కోసం -3 మరియు 14ని కూడండి.

$$9x+11-8y=12$$

రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-8y=12-11$$

1ని పొందడం కోసం 11ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-8y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3y-6తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

5-xతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28ని పొందడం కోసం 10ని -18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12ని పొందడం కోసం 1 మరియు 12ని గుణించండి.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17ని పొందడం కోసం 12 మరియు 5ని కూడండి.

$$9y-28+2x=-17$$

రెండు వైపులా 28ని జోడించండి.

$$9y+2x=-17+28$$

11ని పొందడం కోసం -17 మరియు 28ని కూడండి.

$$9y+2x=11$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}9&-8\\2&9\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&-\frac{-8}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\\-\frac{2}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}&\frac{9}{9\times 9-\left(-8\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}&\frac{8}{97}\\-\frac{2}{97}&\frac{9}{97}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\11\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{9}{97}+\frac{8}{97}\times 11\\-\frac{2}{97}+\frac{9}{97}\times 11\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=1,y=1$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 6తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 2,3.

$$3\left(3x-1\right)-2\left(4y-7\right)=12$$

3x-1తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-3-2\left(4y-7\right)=12$$

4y-7తో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9x-3-8y+14=12$$

11ని పొందడం కోసం -3 మరియు 14ని కూడండి.

$$9x+11-8y=12$$

రెండు భాగాల నుండి 11ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-8y=12-11$$

1ని పొందడం కోసం 11ని 12 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9x-8y=1$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 12తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 4,6,12.

$$3\left(3y-6\right)-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

3y-6తో 3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9y-18-2\left(5-x\right)=-\left(1\times 12+5\right)$$

5-xతో -2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$9y-18-10+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

-28ని పొందడం కోసం 10ని -18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$9y-28+2x=-\left(1\times 12+5\right)$$

12ని పొందడం కోసం 1 మరియు 12ని గుణించండి.

$$9y-28+2x=-\left(12+5\right)$$

17ని పొందడం కోసం 12 మరియు 5ని కూడండి.

$$9y-28+2x=-17$$

రెండు వైపులా 28ని జోడించండి.

$$9y+2x=-17+28$$

11ని పొందడం కోసం -17 మరియు 28ని కూడండి.

$$9y+2x=11$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$9x-8y=1,2x+9y=11$$

9x మరియు 2xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 9తో గుణించండి.

$$2\times 9x+2\left(-8\right)y=2,9\times 2x+9\times 9y=9\times 11$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$18x-16y=2,18x+81y=99$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 18x+81y=99ని 18x-16y=2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$18x-18x-16y-81y=2-99$$

-18xకు 18xని కూడండి. 18x మరియు -18x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-16y-81y=2-99$$

-81yకు -16yని కూడండి.

$$-97y=2-99$$

-99కు 2ని కూడండి.

$$-97y=-97$$

రెండు వైపులా -97తో భాగించండి.

$$y=1$$

2x+9y=11లో yను 1 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$2x+9=11$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=2$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=1$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=1,y=1$$