{l}{2x+7y/3+y=0}{x+5y-1/2=2-x} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { l } { \frac { 2 x + 7 y } { 3 } + y = 0 } \\ { x + \frac { 5 y - 1 } { 2 } = 2 - x } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

$$y=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$2x+7y+3y=0$$

10yని పొందడం కోసం 7y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$2x+10y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x+5y-1=4-2x$$

రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4xని పొందడం కోసం 2x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$4x+5y-1=4$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$4x+5y=4+1$$

5ని పొందడం కోసం 4 మరియు 1ని కూడండి.

$$4x+5y=5$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+10y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 10yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2x=-10y$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(-10\right)y$$

\frac{1}{2} సార్లు -10yని గుణించండి.

$$x=-5y$$

మరొక సమీకరణములో xను -5y స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+5y=5.

$$4\left(-5\right)y+5y=5$$

4 సార్లు -5yని గుణించండి.

$$-20y+5y=5$$

5yకు -20yని కూడండి.

$$-15y=5$$

రెండు వైపులా -15తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{3}$$

x=-5yలో yను -\frac{1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-5\left(-\frac{1}{3}\right)$$

-5 సార్లు -\frac{1}{3}ని గుణించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$2x+7y+3y=0$$

10yని పొందడం కోసం 7y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$2x+10y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x+5y-1=4-2x$$

రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4xని పొందడం కోసం 2x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$4x+5y-1=4$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$4x+5y=4+1$$

5ని పొందడం కోసం 4 మరియు 1ని కూడండి.

$$4x+5y=5$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&10\\4&5\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{2\times 5-10\times 4}&-\frac{10}{2\times 5-10\times 4}\\-\frac{4}{2\times 5-10\times 4}&\frac{2}{2\times 5-10\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&\frac{1}{3}\\\frac{2}{15}&-\frac{1}{15}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\5\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3}\times 5\\-\frac{1}{15}\times 5\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{5}{3}\\-\frac{1}{3}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 3తో గుణించండి.

$$2x+7y+3y=0$$

10yని పొందడం కోసం 7y మరియు 3yని జత చేయండి.

$$2x+10y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 2తో గుణించండి.

$$2x+5y-1=4-2x$$

రెండు వైపులా 2xని జోడించండి.

$$2x+5y-1+2x=4$$

4xని పొందడం కోసం 2x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$4x+5y-1=4$$

రెండు వైపులా 1ని జోడించండి.

$$4x+5y=4+1$$

5ని పొందడం కోసం 4 మరియు 1ని కూడండి.

$$4x+5y=5$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+10y=0,4x+5y=5$$

2x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$4\times 2x+4\times 10y=0,2\times 4x+2\times 5y=2\times 5$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+40y=0,8x+10y=10$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x+10y=10ని 8x+40y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+40y-10y=-10$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$40y-10y=-10$$

-10yకు 40yని కూడండి.

$$30y=-10$$

రెండు వైపులా 30తో భాగించండి.

$$y=-\frac{1}{3}$$

4x+5y=5లో yను -\frac{1}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x+5\left(-\frac{1}{3}\right)=5$$

5 సార్లు -\frac{1}{3}ని గుణించండి.

$$4x-\frac{5}{3}=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{5}{3}ని కూడండి.

$$4x=\frac{20}{3}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{5}{3}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{5}{3},y=-\frac{1}{3}$$