{c}{2y+5x=12}{-2x-6y=-24} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 y + 5 x = 12 } \\ { - 2 x - 6 y = - 24 } \end{array} \right.$$

y, xని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{12}{13}\approx 0.923076923$$

$$y = \frac{48}{13} = 3\frac{9}{13} \approx 3.692307692$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న yని వేరు చేయడం ద్వారా yని పరిష్కరించండి.

$$2y+5x=12$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$2y=-5x+12$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$y=\frac{1}{2}\left(-5x+12\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు -5x+12ని గుణించండి.

$$y=-\frac{5}{2}x+6$$

మరొక సమీకరణములో yను -\frac{5x}{2}+6 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -6y-2x=-24.

$$-6\left(-\frac{5}{2}x+6\right)-2x=-24$$

-6 సార్లు -\frac{5x}{2}+6ని గుణించండి.

$$15x-36-2x=-24$$

-2xకు 15xని కూడండి.

$$13x-36=-24$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 36ని కూడండి.

$$13x=12$$

రెండు వైపులా 13తో భాగించండి.

$$x=\frac{12}{13}$$

y=-\frac{5}{2}x+6లో xను \frac{12}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$y=-\frac{5}{2}\times \frac{12}{13}+6$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{5}{2} సార్లు \frac{12}{13}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$y=-\frac{30}{13}+6$$

-\frac{30}{13}కు 6ని కూడండి.

$$y=\frac{48}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&5\\-6&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&-\frac{5}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\\-\frac{-6}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}&\frac{2}{2\left(-2\right)-5\left(-6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}&-\frac{5}{26}\\\frac{3}{13}&\frac{1}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}12\\-24\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{13}\times 12-\frac{5}{26}\left(-24\right)\\\frac{3}{13}\times 12+\frac{1}{13}\left(-24\right)\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{48}{13}\\\frac{12}{13}\end{matrix}\right)$$

y మరియు x మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2y+5x=12,-6y-2x=-24$$

2y మరియు -6yని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -6తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$-6\times 2y-6\times 5x=-6\times 12,2\left(-6\right)y+2\left(-2\right)x=2\left(-24\right)$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$-12y-30x=-72,-12y-4x=-48$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా -12y-4x=-48ని -12y-30x=-72 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-12y+12y-30x+4x=-72+48$$

12yకు -12yని కూడండి. -12y మరియు 12y విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-30x+4x=-72+48$$

4xకు -30xని కూడండి.

$$-26x=-72+48$$

48కు -72ని కూడండి.

$$-26x=-24$$

రెండు వైపులా -26తో భాగించండి.

$$x=\frac{12}{13}$$

-6y-2x=-24లో xను \frac{12}{13} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు yని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-6y-2\times \frac{12}{13}=-24$$

-2 సార్లు \frac{12}{13}ని గుణించండి.

$$-6y-\frac{24}{13}=-24$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{24}{13}ని కూడండి.

$$-6y=-\frac{288}{13}$$

రెండు వైపులా -6తో భాగించండి.

$$y=\frac{48}{13}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$y=\frac{48}{13},x=\frac{12}{13}$$