{c}{2x-ky=5}{1/2x+y=4-7/2x} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { c } { 2 x - k y = 5 } \\ { \frac { 1 } { 2 } x + y = 4 - \frac { 7 } { 2 } x } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

$$k\neq -\frac{1}{2}$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{7}{2}xని జోడించండి.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

4xని పొందడం కోసం \frac{1}{2}x మరియు \frac{7}{2}xని జత చేయండి.

$$4x+y=4$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$2x+\left(-k\right)y=5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా kyని కూడండి.

$$2x=ky+5$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$x=\frac{1}{2}\left(ky+5\right)$$

\frac{1}{2} సార్లు ky+5ని గుణించండి.

$$x=\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{ky+5}{2} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, 4x+y=4.

$$4\left(\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}\right)+y=4$$

4 సార్లు \frac{ky+5}{2}ని గుణించండి.

$$2ky+10+y=4$$

yకు 2kyని కూడండి.

$$\left(2k+1\right)y+10=4$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 10ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$\left(2k+1\right)y=-6$$

రెండు వైపులా 2k+1తో భాగించండి.

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

x=\frac{k}{2}y+\frac{5}{2}లో yను -\frac{6}{2k+1} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=\frac{k}{2}\left(-\frac{6}{2k+1}\right)+\frac{5}{2}$$

\frac{k}{2} సార్లు -\frac{6}{2k+1}ని గుణించండి.

$$x=-\frac{3k}{2k+1}+\frac{5}{2}$$

-\frac{3k}{2k+1}కు \frac{5}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{7}{2}xని జోడించండి.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

4xని పొందడం కోసం \frac{1}{2}x మరియు \frac{7}{2}xని జత చేయండి.

$$4x+y=4$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-k\\4&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2-\left(-k\right)\times 4}&-\frac{-k}{2-\left(-k\right)\times 4}\\-\frac{4}{2-\left(-k\right)\times 4}&\frac{2}{2-\left(-k\right)\times 4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2\left(2k+1\right)}&\frac{k}{2\left(2k+1\right)}\\-\frac{2}{2k+1}&\frac{1}{2k+1}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}5\\4\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2\left(2k+1\right)}\times 5+\frac{k}{2\left(2k+1\right)}\times 4\\\left(-\frac{2}{2k+1}\right)\times 5+\frac{1}{2k+1}\times 4\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}\\-\frac{6}{2k+1}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. రెండు వైపులా \frac{7}{2}xని జోడించండి.

$$\frac{1}{2}x+y+\frac{7}{2}x=4$$

4xని పొందడం కోసం \frac{1}{2}x మరియు \frac{7}{2}xని జత చేయండి.

$$4x+y=4$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$2x+\left(-k\right)y=5,4x+y=4$$

2x మరియు 4xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 4తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 2తో గుణించండి.

$$4\times 2x+4\left(-k\right)y=4\times 5,2\times 4x+2y=2\times 4$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$8x+\left(-4k\right)y=20,8x+2y=8$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 8x+2y=8ని 8x+\left(-4k\right)y=20 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-8x+\left(-4k\right)y-2y=20-8$$

-8xకు 8xని కూడండి. 8x మరియు -8x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$\left(-4k\right)y-2y=20-8$$

-2yకు -4kyని కూడండి.

$$\left(-4k-2\right)y=20-8$$

-8కు 20ని కూడండి.

$$\left(-4k-2\right)y=12$$

రెండు వైపులా -4k-2తో భాగించండి.

$$y=-\frac{6}{2k+1}$$

4x+y=4లో yను -\frac{6}{1+2k} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$4x-\frac{6}{2k+1}=4$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{6}{1+2k}ని కూడండి.

$$4x=\frac{2\left(4k+5\right)}{2k+1}$$

రెండు వైపులా 4తో భాగించండి.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{4k+5}{2\left(2k+1\right)},y=-\frac{6}{2k+1}$$