{c}{0.54x+1.84y=1}{x+y=1} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { c } { 0.54 x + 1.84 y = 1 } \\ { x + y = 1 } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=\frac{42}{65}\approx 0.646153846$$

$$y=\frac{23}{65}\approx 0.353846154$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$0.54x+1.84y=1,x+y=1$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$0.54x+1.84y=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{46y}{25}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.54x=-1.84y+1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 0.54తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$x=\frac{50}{27}\left(-1.84y+1\right)$$

\frac{50}{27} సార్లు -\frac{46y}{25}+1ని గుణించండి.

$$x=-\frac{92}{27}y+\frac{50}{27}$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{-92y+50}{27} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, x+y=1.

$$-\frac{92}{27}y+\frac{50}{27}+y=1$$

yకు -\frac{92y}{27}ని కూడండి.

$$-\frac{65}{27}y+\frac{50}{27}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{50}{27}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-\frac{65}{27}y=-\frac{23}{27}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా -\frac{65}{27}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{23}{65}$$

x=-\frac{92}{27}y+\frac{50}{27}లో yను \frac{23}{65} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=-\frac{92}{27}\times \frac{23}{65}+\frac{50}{27}$$

లవమును లవంసార్లు మరియు హారమును హారముసార్లు గుణించడం ద్వారా -\frac{92}{27} సార్లు \frac{23}{65}ని గుణించండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=-\frac{2116}{1755}+\frac{50}{27}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా -\frac{2116}{1755}కు \frac{50}{27}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x=\frac{42}{65}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{42}{65},y=\frac{23}{65}$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$0.54x+1.84y=1,x+y=1$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}0.54&1.84\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}0.54&1.84\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}0.54&1.84\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0.54&1.84\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.54&1.84\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.54&1.84\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}0.54&1.84\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{0.54-1.84}&-\frac{1.84}{0.54-1.84}\\-\frac{1}{0.54-1.84}&\frac{0.54}{0.54-1.84}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{13}&\frac{92}{65}\\\frac{10}{13}&-\frac{27}{65}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\1\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{10}{13}+\frac{92}{65}\\\frac{10}{13}-\frac{27}{65}\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{42}{65}\\\frac{23}{65}\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=\frac{42}{65},y=\frac{23}{65}$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$0.54x+1.84y=1,x+y=1$$

\frac{27x}{50} మరియు xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 0.54తో గుణించండి.

$$0.54x+1.84y=1,0.54x+0.54y=0.54$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 0.54x+0.54y=0.54ని 0.54x+1.84y=1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$0.54x-0.54x+1.84y-0.54y=1-0.54$$

-\frac{27x}{50}కు \frac{27x}{50}ని కూడండి. \frac{27x}{50} మరియు -\frac{27x}{50} విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$1.84y-0.54y=1-0.54$$

-\frac{27y}{50}కు \frac{46y}{25}ని కూడండి.

$$1.3y=1-0.54$$

-0.54కు 1ని కూడండి.

$$1.3y=0.46$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా 1.3తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=\frac{23}{65}$$

x+y=1లో yను \frac{23}{65} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x+\frac{23}{65}=1$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{23}{65}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{42}{65}$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=\frac{42}{65},y=\frac{23}{65}$$