{c}{-3(3x-y)=2(y+x)}{-3(2x+y)=2(x-3y)} పరిష్కరించండి

$$\left\{ \begin{array} { c } { - 3 ( 3 x - y ) = 2 ( y + x ) } \\ { - 3 ( 2 x + y ) = 2 ( x - 3 y ) } \end{array} \right.$$

x, yని పరిష్కరించండి

$$x=0$$

$$y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

y+xతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-9x+3y=2y+2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+3y-2y=2x$$

yని పొందడం కోసం 3y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$-9x+y=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+y-2x=0$$

-11xని పొందడం కోసం -9x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-11x+y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x+yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

x-3yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-3y=2x-6y$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8xని పొందడం కోసం -6x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-8x-3y=-6y$$

రెండు వైపులా 6yని జోడించండి.

$$-8x-3y+6y=0$$

3yని పొందడం కోసం -3y మరియు 6yని జత చేయండి.

$$-8x+3y=0$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించి సమీకరణముల జతను పరిష్కరించడం కోసం, ముందుగా సమీకరణములలోని ఒక దానిని చరరాశులలోని ఒక దానితో పరిష్కరించండి. ఆపై ఆ చరరాశి యొక్క ఫలితాన్ని మరొక సమీకరణములో ప్రతిక్షేపించండి.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

సమీకరణముల నుండి ఒక దానిని ఎంచుకుని, సమాన గుర్తుకి ఎడమవైపు ఉన్న xని వేరు చేయడం ద్వారా xని పరిష్కరించండి.

$$-11x+y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-11x=-y$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$x=-\frac{1}{11}\left(-1\right)y$$

-\frac{1}{11} సార్లు -yని గుణించండి.

$$x=\frac{1}{11}y$$

మరొక సమీకరణములో xను \frac{y}{11} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, -8x+3y=0.

$$-8\times \frac{1}{11}y+3y=0$$

-8 సార్లు \frac{y}{11}ని గుణించండి.

$$-\frac{8}{11}y+3y=0$$

3yకు -\frac{8y}{11}ని కూడండి.

$$\frac{25}{11}y=0$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{25}{11}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$y=0$$

x=\frac{1}{11}yలో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=0$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

y+xతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-9x+3y=2y+2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+3y-2y=2x$$

yని పొందడం కోసం 3y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$-9x+y=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+y-2x=0$$

-11xని పొందడం కోసం -9x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-11x+y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x+yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

x-3yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-3y=2x-6y$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8xని పొందడం కోసం -6x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-8x-3y=-6y$$

రెండు వైపులా 6yని జోడించండి.

$$-8x-3y+6y=0$$

3yని పొందడం కోసం -3y మరియు 6yని జత చేయండి.

$$-8x+3y=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}-11&1\\-8&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{1}{-11\times 3-\left(-8\right)}\\-\frac{-8}{-11\times 3-\left(-8\right)}&-\frac{11}{-11\times 3-\left(-8\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{25}&\frac{1}{25}\\-\frac{8}{25}&\frac{11}{25}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

x మరియు y మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$x=0,y=0$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 3x-yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-9x+3y=2\left(y+x\right)$$

y+xతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-9x+3y=2y+2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2yని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+3y-2y=2x$$

yని పొందడం కోసం 3y మరియు -2yని జత చేయండి.

$$-9x+y=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-9x+y-2x=0$$

-11xని పొందడం కోసం -9x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-11x+y=0$$

రెండవ సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. 2x+yతో -3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-3y=2\left(x-3y\right)$$

x-3yతో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-6x-3y=2x-6y$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-6x-3y-2x=-6y$$

-8xని పొందడం కోసం -6x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$-8x-3y=-6y$$

రెండు వైపులా 6yని జోడించండి.

$$-8x-3y+6y=0$$

3yని పొందడం కోసం -3y మరియు 6yని జత చేయండి.

$$-8x+3y=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$-11x+y=0,-8x+3y=0$$

-11x మరియు -8xని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను -8తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను -11తో గుణించండి.

$$-8\left(-11\right)x-8y=0,-11\left(-8\right)x-11\times 3y=0$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$88x-8y=0,88x-33y=0$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 88x-33y=0ని 88x-8y=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$88x-88x-8y+33y=0$$

-88xకు 88xని కూడండి. 88x మరియు -88x విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-8y+33y=0$$

33yకు -8yని కూడండి.

$$25y=0$$

రెండు వైపులా 25తో భాగించండి.

$$y=0$$

-8x+3y=0లో yను 0 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు xని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$-8x=0$$

రెండు వైపులా -8తో భాగించండి.

$$x=0$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$x=0,y=0$$