400/x+20+400/52/x+20+frac{400/53}{x}=11 పరిష్కరించండి

$$\frac{ 400 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 2 }{ x+20 } + \frac{ \frac{ 400 }{ 5 } 3 }{ x } = 11$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{80}{11} = -7\frac{3}{11} \approx -7.272727273$$

$$x=60$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -20,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x+20\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

400ని 5తో భాగించి 80ని పొందండి.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

160ని పొందడం కోసం 80 మరియు 2ని గుణించండి.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

560xని పొందడం కోసం x\times 400 మరియు x\times 160ని జత చేయండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

400ని 5తో భాగించి 80ని పొందండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

240ని పొందడం కోసం 80 మరియు 3ని గుణించండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

240తో x+20ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

800xని పొందడం కోసం 560x మరియు 240xని జత చేయండి.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

x+20తో 11xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

రెండు భాగాల నుండి 11x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

రెండు భాగాల నుండి 220xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

580xని పొందడం కోసం 800x మరియు -220xని జత చేయండి.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -11x^{2}+ax+bx+4800 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=580 ab=-11\times 4800=-52800$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -52800ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,52800 -2,26400 -3,17600 -4,13200 -5,10560 -6,8800 -8,6600 -10,5280 -11,4800 -12,4400 -15,3520 -16,3300 -20,2640 -22,2400 -24,2200 -25,2112 -30,1760 -32,1650 -33,1600 -40,1320 -44,1200 -48,1100 -50,1056 -55,960 -60,880 -64,825 -66,800 -75,704 -80,660 -88,600 -96,550 -100,528 -110,480 -120,440 -132,400 -150,352 -160,330 -165,320 -176,300 -192,275 -200,264 -220,240$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+52800=52799 -2+26400=26398 -3+17600=17597 -4+13200=13196 -5+10560=10555 -6+8800=8794 -8+6600=6592 -10+5280=5270 -11+4800=4789 -12+4400=4388 -15+3520=3505 -16+3300=3284 -20+2640=2620 -22+2400=2378 -24+2200=2176 -25+2112=2087 -30+1760=1730 -32+1650=1618 -33+1600=1567 -40+1320=1280 -44+1200=1156 -48+1100=1052 -50+1056=1006 -55+960=905 -60+880=820 -64+825=761 -66+800=734 -75+704=629 -80+660=580 -88+600=512 -96+550=454 -100+528=428 -110+480=370 -120+440=320 -132+400=268 -150+352=202 -160+330=170 -165+320=155 -176+300=124 -192+275=83 -200+264=64 -220+240=20$$

సమ్ 580ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=660 b=-80$$

\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)ని -11x^{2}+580x+4800 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-11x^{2}+660x\right)+\left(-80x+4800\right)$$

మొదటి సమూహంలో 11x మరియు రెండవ సమూహంలో 80 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$11x\left(-x+60\right)+80\left(-x+60\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -x+60ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-x+60\right)\left(11x+80\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -x+60=0 మరియు 11x+80=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -20,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x+20\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

400ని 5తో భాగించి 80ని పొందండి.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

160ని పొందడం కోసం 80 మరియు 2ని గుణించండి.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

560xని పొందడం కోసం x\times 400 మరియు x\times 160ని జత చేయండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

400ని 5తో భాగించి 80ని పొందండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

240ని పొందడం కోసం 80 మరియు 3ని గుణించండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

240తో x+20ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

800xని పొందడం కోసం 560x మరియు 240xని జత చేయండి.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

x+20తో 11xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

రెండు భాగాల నుండి 11x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

రెండు భాగాల నుండి 220xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

580xని పొందడం కోసం 800x మరియు -220xని జత చేయండి.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-11x^{2}+580x+4800=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -11, b స్థానంలో 580 మరియు c స్థానంలో 4800 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-580±\sqrt{580^{2}-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

580 వర్గము.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400-4\left(-11\right)\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

-4 సార్లు -11ని గుణించండి.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+44\times 4800}}{2\left(-11\right)}$$

44 సార్లు 4800ని గుణించండి.

$$x=\frac{-580±\sqrt{336400+211200}}{2\left(-11\right)}$$

211200కు 336400ని కూడండి.

$$x=\frac{-580±\sqrt{547600}}{2\left(-11\right)}$$

547600 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-580±740}{2\left(-11\right)}$$

2 సార్లు -11ని గుణించండి.

$$x=\frac{-580±740}{-22}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-580±740}{-22} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 740కు -580ని కూడండి.

$$x=\frac{160}{-22}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{160}{-22} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{80}{11}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-580±740}{-22} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 740ని -580 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1320}{-22}$$

-22తో -1320ని భాగించండి.

$$x=60$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{80}{11} x=60$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -20,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x+20\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+20,x.

$$x\times 400+x\times \frac{400}{5}\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

400ని 5తో భాగించి 80ని పొందండి.

$$x\times 400+x\times 80\times 2+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

160ని పొందడం కోసం 80 మరియు 2ని గుణించండి.

$$x\times 400+x\times 160+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

560xని పొందడం కోసం x\times 400 మరియు x\times 160ని జత చేయండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times \frac{400}{5}\times 3=11x\left(x+20\right)$$

400ని 5తో భాగించి 80ని పొందండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times 80\times 3=11x\left(x+20\right)$$

240ని పొందడం కోసం 80 మరియు 3ని గుణించండి.

$$560x+\left(x+20\right)\times 240=11x\left(x+20\right)$$

240తో x+20ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$560x+240x+4800=11x\left(x+20\right)$$

800xని పొందడం కోసం 560x మరియు 240xని జత చేయండి.

$$800x+4800=11x\left(x+20\right)$$

x+20తో 11xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$800x+4800=11x^{2}+220x$$

రెండు భాగాల నుండి 11x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$800x+4800-11x^{2}=220x$$

రెండు భాగాల నుండి 220xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$800x+4800-11x^{2}-220x=0$$

580xని పొందడం కోసం 800x మరియు -220xని జత చేయండి.

$$580x+4800-11x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4800ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$580x-11x^{2}=-4800$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-11x^{2}+580x=-4800$$

రెండు వైపులా -11తో భాగించండి.

$$\frac{-11x^{2}+580x}{-11}=-\frac{4800}{-11}$$

-11తో భాగించడం ద్వారా -11 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{580}{-11}x=-\frac{4800}{-11}$$

-11తో 580ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=-\frac{4800}{-11}$$

-11తో -4800ని భాగించండి.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x=\frac{4800}{11}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{580}{11}ని 2తో భాగించి -\frac{290}{11}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{290}{11} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{4800}{11}+\left(-\frac{290}{11}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{290}{11}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{4800}{11}+\frac{84100}{121}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{84100}{121}కు \frac{4800}{11}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}=\frac{136900}{121}$$

కారకం x^{2}-\frac{580}{11}x+\frac{84100}{121}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}=\frac{136900}{121}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{290}{11}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{136900}{121}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{290}{11}=\frac{370}{11} x-\frac{290}{11}=-\frac{370}{11}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{290}{11}ని కూడండి.

$$x=60 x=-\frac{80}{11}$$