x/x+3=6/x-3-27-x^2/9-x^2 పరిష్కరించండి

$$\frac { x } { x + 3 } = \frac { 6 } { x - 3 } - \frac { 27 - x ^ { 2 } } { 9 - x ^ { 2 } }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{15}{2} = 7\frac{1}{2} = 7.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

xతో x-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

6తో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

45ని పొందడం కోసం 18 మరియు 27ని కూడండి.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

-9xని పొందడం కోసం -3x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2x^{2}+ax+bx-45 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-9 ab=2\left(-45\right)=-90$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -90ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-90 2,-45 3,-30 5,-18 6,-15 9,-10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-90=-89 2-45=-43 3-30=-27 5-18=-13 6-15=-9 9-10=-1$$

సమ్ -9ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-15 b=6$$

\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)ని 2x^{2}-9x-45 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2x^{2}-15x\right)+\left(6x-45\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(2x-15\right)+3\left(2x-15\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-15ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-15\right)\left(x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-15=0 మరియు x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{15}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

xతో x-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

6తో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

45ని పొందడం కోసం 18 మరియు 27ని కూడండి.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

-9xని పొందడం కోసం -3x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 45ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-9x-45=-x^{2}$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$x^{2}-9x-45+x^{2}=0$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$2x^{2}-9x-45=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో -9 మరియు c స్థానంలో -45 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{\left(-9\right)^{2}-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

-9 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-4\times 2\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81-8\left(-45\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -45ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{81+360}}{2\times 2}$$

360కు 81ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±\sqrt{441}}{2\times 2}$$

441 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-9\right)±21}{2\times 2}$$

-9 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 9.

$$x=\frac{9±21}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{9±21}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{9±21}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21కు 9ని కూడండి.

$$x=\frac{30}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{30}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{15}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{9±21}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 21ని 9 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{4}$$

4తో -12ని భాగించండి.

$$x=-3$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{15}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+3,x-3,9-x^{2}.

$$\left(x-3\right)x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

xతో x-3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-3x=\left(x+3\right)\times 6+27-x^{2}$$

6తో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x^{2}-3x=6x+18+27-x^{2}$$

45ని పొందడం కోసం 18 మరియు 27ని కూడండి.

$$x^{2}-3x=6x+45-x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 6xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x^{2}-3x-6x=45-x^{2}$$

-9xని పొందడం కోసం -3x మరియు -6xని జత చేయండి.

$$x^{2}-9x=45-x^{2}$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$x^{2}-9x+x^{2}=45$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$2x^{2}-9x=45$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2x^{2}-9x}{2}=\frac{45}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x=\frac{45}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{9}{2}ని 2తో భాగించి -\frac{9}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{9}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{45}{2}+\left(-\frac{9}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{9}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{45}{2}+\frac{81}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{81}{16}కు \frac{45}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16}=\frac{441}{16}$$

x^{2}-\frac{9}{2}x+\frac{81}{16} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}=\frac{441}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{9}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{441}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{9}{4}=\frac{21}{4} x-\frac{9}{4}=-\frac{21}{4}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{9}{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{15}{2} x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{15}{2}$$