f/11=g/33,text{siendo}f+g=40 పరిష్కరించండి

$$\frac { f } { 11 } = \frac { g } { 33 } , \text { siendo } f + g = 40$$

f, gని పరిష్కరించండి

$$f=10$$

$$g=30$$

ప్రతిక్షేపణను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 33తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 11,33.

$$3f=g$$

రెండు వైపులా 3తో భాగించండి.

$$f=\frac{1}{3}g$$

మరొక సమీకరణములో fను \frac{g}{3} స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి, f+g=40.

$$\frac{1}{3}g+g=40$$

gకు \frac{g}{3}ని కూడండి.

$$\frac{4}{3}g=40$$

సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా \frac{4}{3}తో భాగించండి, ఇది భిన్నము యొక్క విలోమరాశులతో రెండు వైపులా గుణించడంతో సమానం.

$$g=30$$

f=\frac{1}{3}gలో gను 30 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు fని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$f=\frac{1}{3}\times 30$$

\frac{1}{3} సార్లు 30ని గుణించండి.

$$f=10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$f=10,g=30$$

మాత్రికలను ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 33తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 11,33.

$$3f=g$$

రెండు భాగాల నుండి gని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3f-g=0$$

సమీకరణములను ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంచండి, ఆపై సమీకరణముల వ్యవస్థను పరిష్కరించడంలో మాత్రికలను ఉపయోగించండి.

$$3f-g=0,f+g=40$$

సమీకరణములను మాత్రిక ఆకృతిలో వ్రాయండి.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right) మాత్రిక విలోమంతో ఎడమ వైపు సమీకరణాన్ని గుణించండి.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

మాత్రిక మరియు దాని విలోమం యొక్క లబ్ధం ఏకరూప మాత్రిక అవుతుంది.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

సమాన గుర్తుకు ఎడమ వైపు ఉన్న మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\1&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

2\times 2 మాతృక \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) కొరకు విలోమ మాతృక \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right), కాబట్టి మాతృక సమీకరణాన్ని మాతృక గుణకార సమస్యగా తిరిగి వ్రాయవచ్చు.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{3-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{3-\left(-1\right)}&\frac{3}{3-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{4}&\frac{3}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\40\end{matrix}\right)$$

మాత్రికలను గుణించండి.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4}\times 40\\\frac{3}{4}\times 40\end{matrix}\right)$$

అంకగణితము చేయండి.

$$\left(\begin{matrix}f\\g\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}10\\30\end{matrix}\right)$$

f మరియు g మాత్రిక మూలకాలను విస్తరించండి.

$$f=10,g=30$$

ఉద్ధరణను ఉపయోగించడం కోసం దశలు

మొదటి సమీకరణాన్ని పరిగణించండి. సమీకరణం రెండు వైపులా 33తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 11,33.

$$3f=g$$

రెండు భాగాల నుండి gని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3f-g=0$$

అపనయమను ద్వారా పరిష్కరించడం కోసం, చరరాశులలోని ఒకదాని యొక్క గుణకము రెండు సమీకరణములలో ఒకే విధంగా ఉండాలి, తద్వారా రెండు సమీకరణములను వ్యవకలనం చేసినప్పుడు చరరాశిని రద్దు చేయవచ్చు.

$$3f-g=0,f+g=40$$

3f మరియు fని సమానం చేయడం కోసం, మొదటి సమీకరణం యొక్క అన్ని విలువలను 1తో గుణించండి మరియు రెండవ సమీకరణము యొక్క అన్ని విలువలను 3తో గుణించండి.

$$3f-g=0,3f+3g=3\times 40$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$3f-g=0,3f+3g=120$$

సమాన గుర్తుకు ఇరు వైపులా ఉన్న ఒకే రకమైన విలువలను వ్యవకలనం చేయడం ద్వారా 3f+3g=120ని 3f-g=0 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$3f-3f-g-3g=-120$$

-3fకు 3fని కూడండి. 3f మరియు -3f విలువలు రద్దు చేయబడ్డాయి, కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉన్న సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం సాధ్యం కాదు.

$$-g-3g=-120$$

-3gకు -gని కూడండి.

$$-4g=-120$$

రెండు వైపులా -4తో భాగించండి.

$$g=30$$

f+g=40లో gను 30 స్థానంలో ప్రతిక్షేపించండి. ఫలితంగా వచ్చిన సమీకరణములో కేవలం ఒక్క చరరాశి మాత్రమే ఉంది కనుక, మీరు fని నేరుగా పరిష్కరించవచ్చు.

$$f+30=40$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$f=10$$

సిస్టమ్ ఇప్పుడు సరి చేయబడింది.

$$f=10,g=30$$