75/x=75/x+15+1/4 పరిష్కరించండి

$$\frac { 75 } { x } = \frac { 75 } { x + 15 } + \frac { 1 } { 4 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-75$$

$$x=60$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -15,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4x\left(x+15\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

75తో 4x+60ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300ని పొందడం కోసం 4 మరియు 75ని గుణించండి.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1ని పొందడం కోసం 4 మరియు \frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x+15తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315xని పొందడం కోసం 300x మరియు 15xని జత చేయండి.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 315xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15xని పొందడం కోసం 300x మరియు -315xని జత చేయండి.

$$-15x+4500=x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+4500 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-15 ab=-4500=-4500$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -4500ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-4500 2,-2250 3,-1500 4,-1125 5,-900 6,-750 9,-500 10,-450 12,-375 15,-300 18,-250 20,-225 25,-180 30,-150 36,-125 45,-100 50,-90 60,-75$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-4500=-4499 2-2250=-2248 3-1500=-1497 4-1125=-1121 5-900=-895 6-750=-744 9-500=-491 10-450=-440 12-375=-363 15-300=-285 18-250=-232 20-225=-205 25-180=-155 30-150=-120 36-125=-89 45-100=-55 50-90=-40 60-75=-15$$

సమ్ -15ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=60 b=-75$$

\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)ని -x^{2}-15x+4500 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+60x\right)+\left(-75x+4500\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 75 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(-x+60\right)+75\left(-x+60\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -x+60ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-x+60\right)\left(x+75\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -x+60=0 మరియు x+75=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=60 x=-75$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -15,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4x\left(x+15\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

75తో 4x+60ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300ని పొందడం కోసం 4 మరియు 75ని గుణించండి.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1ని పొందడం కోసం 4 మరియు \frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x+15తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315xని పొందడం కోసం 300x మరియు 15xని జత చేయండి.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 315xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15xని పొందడం కోసం 300x మరియు -315xని జత చేయండి.

$$-15x+4500=x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}-15x+4500=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో -15 మరియు c స్థానంలో 4500 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{\left(-15\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-15 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225-4\left(-1\right)\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+4\times 4500}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 4500ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{225+18000}}{2\left(-1\right)}$$

18000కు 225ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±\sqrt{18225}}{2\left(-1\right)}$$

18225 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-15\right)±135}{2\left(-1\right)}$$

-15 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 15.

$$x=\frac{15±135}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{15±135}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{15±135}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 135కు 15ని కూడండి.

$$x=\frac{150}{-2}$$

-2తో 150ని భాగించండి.

$$x=-75$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{15±135}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 135ని 15 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{120}{-2}$$

-2తో -120ని భాగించండి.

$$x=60$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-75 x=60$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -15,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4x\left(x+15\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+15,4.

$$\left(4x+60\right)\times 75=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

75తో 4x+60ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$300x+4500=4x\times 75+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

300ని పొందడం కోసం 4 మరియు 75ని గుణించండి.

$$300x+4500=300x+4x\left(x+15\right)\times \frac{1}{4}$$

1ని పొందడం కోసం 4 మరియు \frac{1}{4}ని గుణించండి.

$$300x+4500=300x+x\left(x+15\right)$$

x+15తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$300x+4500=300x+x^{2}+15x$$

315xని పొందడం కోసం 300x మరియు 15xని జత చేయండి.

$$300x+4500=315x+x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి 315xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$300x+4500-315x=x^{2}$$

-15xని పొందడం కోసం 300x మరియు -315xని జత చేయండి.

$$-15x+4500=x^{2}$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-15x+4500-x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 4500ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$-15x-x^{2}=-4500$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}-15x=-4500$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}-15x}{-1}=-\frac{4500}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{15}{-1}\right)x=-\frac{4500}{-1}$$

-1తో -15ని భాగించండి.

$$x^{2}+15x=-\frac{4500}{-1}$$

-1తో -4500ని భాగించండి.

$$x^{2}+15x=4500$$

x రాశి యొక్క గుణకము 15ని 2తో భాగించి \frac{15}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{15}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+15x+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}=4500+\left(\frac{15}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{15}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=4500+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4}కు 4500ని కూడండి.

$$x^{2}+15x+\frac{225}{4}=\frac{18225}{4}$$

కారకం x^{2}+15x+\frac{225}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{18225}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{18225}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{15}{2}=\frac{135}{2} x+\frac{15}{2}=-\frac{135}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{15}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=60 x=-75$$