4/x+4/x-6=1 పరిష్కరించండి

$$\frac { 4 } { x } + \frac { 4 } { x - 6 } = 1$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=2$$

$$x=12$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 0,6 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x-6\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

4తో x-6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

8xని పొందడం కోసం 4x మరియు x\times 4ని జత చేయండి.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

x-6తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

రెండు వైపులా 6xని జోడించండి.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

14xని పొందడం కోసం 8x మరియు 6xని జత చేయండి.

$$14x-24-x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx-24 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=14 ab=-\left(-24\right)=24$$

ab పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b ఒకే గుర్తును కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, a మరియు b రెండూ పాజిటివ్‌గా ఉంటాయి. ప్రాడక్ట్ 24ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,24 2,12 3,8 4,6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1+24=25 2+12=14 3+8=11 4+6=10$$

సమ్ 14ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=12 b=2$$

\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)ని -x^{2}+14x-24 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+12x\right)+\left(2x-24\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో 2 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-12\right)+2\left(x-12\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-12ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-12\right)\left(-x+2\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-12=0 మరియు -x+2=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=12 x=2$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 0,6 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x-6\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

4తో x-6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

8xని పొందడం కోసం 4x మరియు x\times 4ని జత చేయండి.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

x-6తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

రెండు వైపులా 6xని జోడించండి.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

14xని పొందడం కోసం 8x మరియు 6xని జత చేయండి.

$$14x-24-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+14x-24=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 14 మరియు c స్థానంలో -24 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-14±\sqrt{14^{2}-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

14 వర్గము.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-4\left(-1\right)\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196+4\left(-24\right)}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు -24ని గుణించండి.

$$x=\frac{-14±\sqrt{196-96}}{2\left(-1\right)}$$

-96కు 196ని కూడండి.

$$x=\frac{-14±\sqrt{100}}{2\left(-1\right)}$$

100 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-14±10}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-14±10}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-14±10}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 10కు -14ని కూడండి.

$$x=-\frac{4}{-2}$$

-2తో -4ని భాగించండి.

$$x=2$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-14±10}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 10ని -14 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{24}{-2}$$

-2తో -24ని భాగించండి.

$$x=12$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=2 x=12$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది 0,6 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా x\left(x-6\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x-6.

$$\left(x-6\right)\times 4+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

4తో x-6ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$4x-24+x\times 4=x\left(x-6\right)$$

8xని పొందడం కోసం 4x మరియు x\times 4ని జత చేయండి.

$$8x-24=x\left(x-6\right)$$

x-6తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$8x-24=x^{2}-6x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$8x-24-x^{2}=-6x$$

రెండు వైపులా 6xని జోడించండి.

$$8x-24-x^{2}+6x=0$$

14xని పొందడం కోసం 8x మరియు 6xని జత చేయండి.

$$14x-24-x^{2}=0$$

రెండు వైపులా 24ని జోడించండి. సున్నాతో ఏ సంఖ్యను కూడినా అదే సంఖ్య వస్తుంది.

$$14x-x^{2}=24$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+14x=24$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+14x}{-1}=\frac{24}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{14}{-1}x=\frac{24}{-1}$$

-1తో 14ని భాగించండి.

$$x^{2}-14x=\frac{24}{-1}$$

-1తో 24ని భాగించండి.

$$x^{2}-14x=-24$$

x రాశి యొక్క గుణకము -14ని 2తో భాగించి -7ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -7 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-14x+\left(-7\right)^{2}=-24+\left(-7\right)^{2}$$

-7 వర్గము.

$$x^{2}-14x+49=-24+49$$

49కు -24ని కూడండి.

$$x^{2}-14x+49=25$$

కారకం x^{2}-14x+49. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-7\right)^{2}=25$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-7\right)^{2}}=\sqrt{25}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-7=5 x-7=-5$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా 7ని కూడండి.

$$x=12 x=2$$