30/x^2-1+7-18x/x^3+1=13/x^2-x+1 పరిష్కరించండి

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } - 1 } + \frac { 7 - 18 x } { x ^ { 3 } + 1 } = \frac { 13 } { x ^ { 2 } - x + 1 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-9$$

$$x=4$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-1,x^{3}+1,x^{2}-x+1.

$$\left(x^{2}-x+1\right)\times 30+\left(x-1\right)\left(7-18x\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

30తో x^{2}-x+1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x^{2}-30x+30+\left(x-1\right)\left(7-18x\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

x-1ని 7-18xని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x^{2}-30x+30+25x-18x^{2}-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

-5xని పొందడం కోసం -30x మరియు 25xని జత చేయండి.

$$30x^{2}-5x+30-18x^{2}-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

12x^{2}ని పొందడం కోసం 30x^{2} మరియు -18x^{2}ని జత చేయండి.

$$12x^{2}-5x+30-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

23ని పొందడం కోసం 7ని 30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}-5x+23=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

13తో x^{2}-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$12x^{2}-5x+23=13x^{2}-13$$

రెండు భాగాల నుండి 13x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}-5x+23-13x^{2}=-13$$

-x^{2}ని పొందడం కోసం 12x^{2} మరియు -13x^{2}ని జత చేయండి.

$$-x^{2}-5x+23=-13$$

రెండు వైపులా 13ని జోడించండి.

$$-x^{2}-5x+23+13=0$$

36ని పొందడం కోసం 23 మరియు 13ని కూడండి.

$$-x^{2}-5x+36=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+36 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-5 ab=-36=-36$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -36ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-36 2,-18 3,-12 4,-9 6,-6$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-36=-35 2-18=-16 3-12=-9 4-9=-5 6-6=0$$

సమ్ -5ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=4 b=-9$$

\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-9x+36\right)ని -x^{2}-5x+36 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+4x\right)+\left(-9x+36\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 9 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(-x+4\right)+9\left(-x+4\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -x+4ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-x+4\right)\left(x+9\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -x+4=0 మరియు x+9=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=4 x=-9$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-1,x^{3}+1,x^{2}-x+1.

$$\left(x^{2}-x+1\right)\times 30+\left(x-1\right)\left(7-18x\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

30తో x^{2}-x+1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x^{2}-30x+30+\left(x-1\right)\left(7-18x\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

x-1ని 7-18xని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x^{2}-30x+30+25x-18x^{2}-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

-5xని పొందడం కోసం -30x మరియు 25xని జత చేయండి.

$$30x^{2}-5x+30-18x^{2}-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

12x^{2}ని పొందడం కోసం 30x^{2} మరియు -18x^{2}ని జత చేయండి.

$$12x^{2}-5x+30-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

23ని పొందడం కోసం 7ని 30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}-5x+23=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

13తో x^{2}-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$12x^{2}-5x+23=13x^{2}-13$$

రెండు భాగాల నుండి 13x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}-5x+23-13x^{2}=-13$$

-x^{2}ని పొందడం కోసం 12x^{2} మరియు -13x^{2}ని జత చేయండి.

$$-x^{2}-5x+23=-13$$

రెండు వైపులా 13ని జోడించండి.

$$-x^{2}-5x+23+13=0$$

36ని పొందడం కోసం 23 మరియు 13ని కూడండి.

$$-x^{2}-5x+36=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో -5 మరియు c స్థానంలో 36 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{\left(-5\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 36}}{2\left(-1\right)}$$

-5 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25-4\left(-1\right)\times 36}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+4\times 36}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 36ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{25+144}}{2\left(-1\right)}$$

144కు 25ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±\sqrt{169}}{2\left(-1\right)}$$

169 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-5\right)±13}{2\left(-1\right)}$$

-5 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 5.

$$x=\frac{5±13}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{5±13}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{5±13}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13కు 5ని కూడండి.

$$x=\frac{18}{-2}$$

-2తో 18ని భాగించండి.

$$x=-9$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{5±13}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 13ని 5 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{8}{-2}$$

-2తో -8ని భాగించండి.

$$x=4$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-9 x=4$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-1\right)\left(x+1\right)\left(x^{2}-x+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-1,x^{3}+1,x^{2}-x+1.

$$\left(x^{2}-x+1\right)\times 30+\left(x-1\right)\left(7-18x\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

30తో x^{2}-x+1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x^{2}-30x+30+\left(x-1\right)\left(7-18x\right)=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

x-1ని 7-18xని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x^{2}-30x+30+25x-18x^{2}-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

-5xని పొందడం కోసం -30x మరియు 25xని జత చేయండి.

$$30x^{2}-5x+30-18x^{2}-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

12x^{2}ని పొందడం కోసం 30x^{2} మరియు -18x^{2}ని జత చేయండి.

$$12x^{2}-5x+30-7=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

23ని పొందడం కోసం 7ని 30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}-5x+23=\left(x^{2}-1\right)\times 13$$

13తో x^{2}-1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$12x^{2}-5x+23=13x^{2}-13$$

రెండు భాగాల నుండి 13x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$12x^{2}-5x+23-13x^{2}=-13$$

-x^{2}ని పొందడం కోసం 12x^{2} మరియు -13x^{2}ని జత చేయండి.

$$-x^{2}-5x+23=-13$$

రెండు భాగాల నుండి 23ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x^{2}-5x=-13-23$$

-36ని పొందడం కోసం 23ని -13 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-x^{2}-5x=-36$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}-5x}{-1}=-\frac{36}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{5}{-1}\right)x=-\frac{36}{-1}$$

-1తో -5ని భాగించండి.

$$x^{2}+5x=-\frac{36}{-1}$$

-1తో -36ని భాగించండి.

$$x^{2}+5x=36$$

x రాశి యొక్క గుణకము 5ని 2తో భాగించి \frac{5}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{5}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+5x+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}=36+\left(\frac{5}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{5}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=36+\frac{25}{4}$$

\frac{25}{4}కు 36ని కూడండి.

$$x^{2}+5x+\frac{25}{4}=\frac{169}{4}$$

కారకం x^{2}+5x+\frac{25}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}=\frac{169}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{5}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{169}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{5}{2}=\frac{13}{2} x+\frac{5}{2}=-\frac{13}{2}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{5}{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=4 x=-9$$