30/x^2+5x+6-x/x+2=2x+1/x+3 పరిష్కరించండి

$$\frac { 30 } { x ^ { 2 } + 5 x + 6 } - \frac { x } { x + 2 } = \frac { 2 x + 1 } { x + 3 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = -\frac{14}{3} = -4\frac{2}{3} \approx -4.666666667$$

$$x=2$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,-2 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x+2\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

xతో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x^{2}+3x యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x+2ని 2x+1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

రెండు భాగాల నుండి 2x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

-3x^{2}ని పొందడం కోసం -x^{2} మరియు -2x^{2}ని జత చేయండి.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

-8xని పొందడం కోసం -3x మరియు -5xని జత చేయండి.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

28ని పొందడం కోసం 2ని 30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -3x^{2}+ax+bx+28 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-8 ab=-3\times 28=-84$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -84ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-84 2,-42 3,-28 4,-21 6,-14 7,-12$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-84=-83 2-42=-40 3-28=-25 4-21=-17 6-14=-8 7-12=-5$$

సమ్ -8ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=6 b=-14$$

\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)ని -3x^{2}-8x+28 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-3x^{2}+6x\right)+\left(-14x+28\right)$$

మొదటి సమూహంలో 3x మరియు రెండవ సమూహంలో 14 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$3x\left(-x+2\right)+14\left(-x+2\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ -x+2ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(-x+2\right)\left(3x+14\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, -x+2=0 మరియు 3x+14=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,-2 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x+2\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

xతో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x^{2}+3x యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x+2ని 2x+1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

రెండు భాగాల నుండి 2x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

-3x^{2}ని పొందడం కోసం -x^{2} మరియు -2x^{2}ని జత చేయండి.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

-8xని పొందడం కోసం -3x మరియు -5xని జత చేయండి.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

రెండు భాగాల నుండి 2ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-3x^{2}-8x-2=0$$

28ని పొందడం కోసం 2ని 30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$28-3x^{2}-8x=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-3x^{2}-8x+28=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -3, b స్థానంలో -8 మరియు c స్థానంలో 28 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{\left(-8\right)^{2}-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

-8 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64-4\left(-3\right)\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

-4 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+12\times 28}}{2\left(-3\right)}$$

12 సార్లు 28ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{64+336}}{2\left(-3\right)}$$

336కు 64ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±\sqrt{400}}{2\left(-3\right)}$$

400 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-8\right)±20}{2\left(-3\right)}$$

-8 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 8.

$$x=\frac{8±20}{2\left(-3\right)}$$

2 సార్లు -3ని గుణించండి.

$$x=\frac{8±20}{-6}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{8±20}{-6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 20కు 8ని కూడండి.

$$x=\frac{28}{-6}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{28}{-6} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=-\frac{14}{3}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{8±20}{-6} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 20ని 8 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{-6}$$

-6తో -12ని భాగించండి.

$$x=2$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-\frac{14}{3} x=2$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,-2 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x+2\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}+5x+6,x+2,x+3.

$$30-\left(x+3\right)x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

xతో x+3ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30-\left(x^{2}+3x\right)=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x^{2}+3x యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనాలంటే, ప్రతి పదం యొక్క వ్యతిరేకాన్ని కనుగొనండి.

$$30-x^{2}-3x=\left(x+2\right)\left(2x+1\right)$$

x+2ని 2x+1ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30-x^{2}-3x=2x^{2}+5x+2$$

రెండు భాగాల నుండి 2x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-x^{2}-3x-2x^{2}=5x+2$$

-3x^{2}ని పొందడం కోసం -x^{2} మరియు -2x^{2}ని జత చేయండి.

$$30-3x^{2}-3x=5x+2$$

రెండు భాగాల నుండి 5xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30-3x^{2}-3x-5x=2$$

-8xని పొందడం కోసం -3x మరియు -5xని జత చేయండి.

$$30-3x^{2}-8x=2$$

రెండు భాగాల నుండి 30ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x^{2}-8x=2-30$$

-28ని పొందడం కోసం 30ని 2 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x^{2}-8x=-28$$

రెండు వైపులా -3తో భాగించండి.

$$\frac{-3x^{2}-8x}{-3}=-\frac{28}{-3}$$

-3తో భాగించడం ద్వారా -3 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{8}{-3}\right)x=-\frac{28}{-3}$$

-3తో -8ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=-\frac{28}{-3}$$

-3తో -28ని భాగించండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x=\frac{28}{3}$$

x రాశి యొక్క గుణకము \frac{8}{3}ని 2తో భాగించి \frac{4}{3}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి \frac{4}{3} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{28}{3}+\left(\frac{4}{3}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా \frac{4}{3}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{28}{3}+\frac{16}{9}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{16}{9}కు \frac{28}{3}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}=\frac{100}{9}$$

కారకం x^{2}+\frac{8}{3}x+\frac{16}{9}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}=\frac{100}{9}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+\frac{4}{3}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{100}{9}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+\frac{4}{3}=\frac{10}{3} x+\frac{4}{3}=-\frac{10}{3}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి \frac{4}{3}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=2 x=-\frac{14}{3}$$