2x/x^2-100=2/15 పరిష్కరించండి

$$\frac { 2 x } { x ^ { 2 } - 100 } = \frac { 2 } { 15 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-5$$

$$x=20$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -10,10 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 15\left(x-10\right)\left(x+10\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

30ని పొందడం కోసం 15 మరియు 2ని గుణించండి.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

x-10తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

2x-20ని x+10ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x=2x^{2}-200$$

రెండు భాగాల నుండి 2x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30x-2x^{2}=-200$$

రెండు వైపులా 200ని జోడించండి.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$15x-x^{2}+100=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}+15x+100=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+100 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=15 ab=-100=-100$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b పాజిటివ్ కనుక, నెగిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా పాజిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -100ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$-1,100 -2,50 -4,25 -5,20 -10,10$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$-1+100=99 -2+50=48 -4+25=21 -5+20=15 -10+10=0$$

సమ్ 15ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=20 b=-5$$

\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)ని -x^{2}+15x+100 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}+20x\right)+\left(-5x+100\right)$$

మొదటి సమూహంలో -x మరియు రెండవ సమూహంలో -5 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$-x\left(x-20\right)-5\left(x-20\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-20ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-20\right)\left(-x-5\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-20=0 మరియు -x-5=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=20 x=-5$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -10,10 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 15\left(x-10\right)\left(x+10\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

30ని పొందడం కోసం 15 మరియు 2ని గుణించండి.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

x-10తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

2x-20ని x+10ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x=2x^{2}-200$$

రెండు భాగాల నుండి 2x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30x-2x^{2}=-200$$

రెండు వైపులా 200ని జోడించండి.

$$30x-2x^{2}+200=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-2x^{2}+30x+200=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -2, b స్థానంలో 30 మరియు c స్థానంలో 200 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-30±\sqrt{30^{2}-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

30 వర్గము.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900-4\left(-2\right)\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

-4 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+8\times 200}}{2\left(-2\right)}$$

8 సార్లు 200ని గుణించండి.

$$x=\frac{-30±\sqrt{900+1600}}{2\left(-2\right)}$$

1600కు 900ని కూడండి.

$$x=\frac{-30±\sqrt{2500}}{2\left(-2\right)}$$

2500 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-30±50}{2\left(-2\right)}$$

2 సార్లు -2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-30±50}{-4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-30±50}{-4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 50కు -30ని కూడండి.

$$x=\frac{20}{-4}$$

-4తో 20ని భాగించండి.

$$x=-5$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-30±50}{-4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 50ని -30 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{80}{-4}$$

-4తో -80ని భాగించండి.

$$x=20$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-5 x=20$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -10,10 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 15\left(x-10\right)\left(x+10\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x^{2}-100,15.

$$15\times 2x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

30ని పొందడం కోసం 15 మరియు 2ని గుణించండి.

$$30x=2\left(x-10\right)\left(x+10\right)$$

x-10తో 2ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x=\left(2x-20\right)\left(x+10\right)$$

2x-20ని x+10ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$30x=2x^{2}-200$$

రెండు భాగాల నుండి 2x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$30x-2x^{2}=-200$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-2x^{2}+30x=-200$$

రెండు వైపులా -2తో భాగించండి.

$$\frac{-2x^{2}+30x}{-2}=-\frac{200}{-2}$$

-2తో భాగించడం ద్వారా -2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{30}{-2}x=-\frac{200}{-2}$$

-2తో 30ని భాగించండి.

$$x^{2}-15x=-\frac{200}{-2}$$

-2తో -200ని భాగించండి.

$$x^{2}-15x=100$$

x రాశి యొక్క గుణకము -15ని 2తో భాగించి -\frac{15}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{15}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-15x+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}=100+\left(-\frac{15}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{15}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=100+\frac{225}{4}$$

\frac{225}{4}కు 100ని కూడండి.

$$x^{2}-15x+\frac{225}{4}=\frac{625}{4}$$

x^{2}-15x+\frac{225}{4} లబ్ధమూలము. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఒక సంపూర్ణచతురస్రము అయితే, ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} రూపంలో లబ్ధమూలములను కనుగొనవచ్చు.

$$\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}=\frac{625}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{15}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{625}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{15}{2}=\frac{25}{2} x-\frac{15}{2}=-\frac{25}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{15}{2}ని కూడండి.

$$x=20 x=-5$$