1500/x-1500/x+250=1/2 పరిష్కరించండి

$$\frac { 1500 } { x } - \frac { 1500 } { x + 250 } = \frac { 1 } { 2 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x=-1000$$

$$x=750$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -250,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 2x\left(x+250\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

1500తో 2x+500ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

3000ని పొందడం కోసం 2 మరియు 1500ని గుణించండి.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

x+250తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

రెండు భాగాల నుండి 250xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

2750xని పొందడం కోసం 3000x మరియు -250xని జత చేయండి.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

-250xని పొందడం కోసం 2750x మరియు -3000xని జత చేయండి.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును -x^{2}+ax+bx+750000 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-250 ab=-750000=-750000$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -750000ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-750000 2,-375000 3,-250000 4,-187500 5,-150000 6,-125000 8,-93750 10,-75000 12,-62500 15,-50000 16,-46875 20,-37500 24,-31250 25,-30000 30,-25000 40,-18750 48,-15625 50,-15000 60,-12500 75,-10000 80,-9375 100,-7500 120,-6250 125,-6000 150,-5000 200,-3750 240,-3125 250,-3000 300,-2500 375,-2000 400,-1875 500,-1500 600,-1250 625,-1200 750,-1000$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-750000=-749999 2-375000=-374998 3-250000=-249997 4-187500=-187496 5-150000=-149995 6-125000=-124994 8-93750=-93742 10-75000=-74990 12-62500=-62488 15-50000=-49985 16-46875=-46859 20-37500=-37480 24-31250=-31226 25-30000=-29975 30-25000=-24970 40-18750=-18710 48-15625=-15577 50-15000=-14950 60-12500=-12440 75-10000=-9925 80-9375=-9295 100-7500=-7400 120-6250=-6130 125-6000=-5875 150-5000=-4850 200-3750=-3550 240-3125=-2885 250-3000=-2750 300-2500=-2200 375-2000=-1625 400-1875=-1475 500-1500=-1000 600-1250=-650 625-1200=-575 750-1000=-250$$

సమ్ 250ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-750 b=1000$$

\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)ని -x^{2}-250x+750000 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(-x^{2}-750x\right)+\left(1000x+750000\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 1000 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(x-750\right)+1000\left(x-750\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ x-750ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(x-750\right)\left(x+1000\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, x-750=0 మరియు x+1000=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=750 x=-1000$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -250,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 2x\left(x+250\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

1500తో 2x+500ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

3000ని పొందడం కోసం 2 మరియు 1500ని గుణించండి.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

x+250తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

రెండు భాగాల నుండి 250xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

2750xని పొందడం కోసం 3000x మరియు -250xని జత చేయండి.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

-250xని పొందడం కోసం 2750x మరియు -3000xని జత చేయండి.

$$-250x+750000-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}-250x+750000=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో -250 మరియు c స్థానంలో 750000 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{\left(-250\right)^{2}-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

-250 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500-4\left(-1\right)\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+4\times 750000}}{2\left(-1\right)}$$

4 సార్లు 750000ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{62500+3000000}}{2\left(-1\right)}$$

3000000కు 62500ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±\sqrt{3062500}}{2\left(-1\right)}$$

3062500 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-250\right)±1750}{2\left(-1\right)}$$

-250 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 250.

$$x=\frac{250±1750}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{250±1750}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{250±1750}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1750కు 250ని కూడండి.

$$x=\frac{2000}{-2}$$

-2తో 2000ని భాగించండి.

$$x=-1000$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{250±1750}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 1750ని 250 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{1500}{-2}$$

-2తో -1500ని భాగించండి.

$$x=750$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=-1000 x=750$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -250,0 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 2x\left(x+250\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x,x+250,2.

$$\left(2x+500\right)\times 1500-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

1500తో 2x+500ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3000x+750000-2x\times 1500=x\left(x+250\right)$$

3000ని పొందడం కోసం 2 మరియు 1500ని గుణించండి.

$$3000x+750000-3000x=x\left(x+250\right)$$

x+250తో xని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$3000x+750000-3000x=x^{2}+250x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}=250x$$

రెండు భాగాల నుండి 250xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3000x+750000-3000x-x^{2}-250x=0$$

2750xని పొందడం కోసం 3000x మరియు -250xని జత చేయండి.

$$2750x+750000-3000x-x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 750000ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$2750x-3000x-x^{2}=-750000$$

-250xని పొందడం కోసం 2750x మరియు -3000xని జత చేయండి.

$$-250x-x^{2}=-750000$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}-250x=-750000$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}-250x}{-1}=-\frac{750000}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\left(-\frac{250}{-1}\right)x=-\frac{750000}{-1}$$

-1తో -250ని భాగించండి.

$$x^{2}+250x=-\frac{750000}{-1}$$

-1తో -750000ని భాగించండి.

$$x^{2}+250x=750000$$

x రాశి యొక్క గుణకము 250ని 2తో భాగించి 125ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి 125 యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}+250x+125^{2}=750000+125^{2}$$

125 వర్గము.

$$x^{2}+250x+15625=750000+15625$$

15625కు 750000ని కూడండి.

$$x^{2}+250x+15625=765625$$

కారకం x^{2}+250x+15625. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x+125\right)^{2}=765625$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x+125\right)^{2}}=\sqrt{765625}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x+125=875 x+125=-875$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల నుండి 125ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=750 x=-1000$$