1/x+1+2/x-1=x^2+2x/x^2-1 పరిష్కరించండి

$$\frac { 1 } { x + 1 } + \frac { 2 } { x - 1 } = \frac { x ^ { 2 } + 2 x } { x ^ { 2 } - 1 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{\sqrt{5} + 1}{2} \approx 1.618033989$$

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}\approx -0.618033989$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-1\right)\left(x+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

2తో x+1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

3xని పొందడం కోసం x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

1ని పొందడం కోసం -1 మరియు 2ని కూడండి.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x+1-x^{2}=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$-x^{2}+x+1=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో -1, b స్థానంలో 1 మరియు c స్థానంలో 1 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1^{2}-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

1 వర్గము.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1-4\left(-1\right)}}{2\left(-1\right)}$$

-4 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{1+4}}{2\left(-1\right)}$$

4కు 1ని కూడండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{2\left(-1\right)}$$

2 సార్లు -1ని గుణించండి.

$$x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. \sqrt{5}కు -1ని కూడండి.

$$x=\frac{\sqrt{5}-1}{-2}$$

-2తో -1+\sqrt{5}ని భాగించండి.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{-1±\sqrt{5}}{-2} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. \sqrt{5}ని -1 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=\frac{-\sqrt{5}-1}{-2}$$

-2తో -1-\sqrt{5}ని భాగించండి.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{1-\sqrt{5}}{2} x=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -1,1 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా \left(x-1\right)\left(x+1\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము x+1,x-1,x^{2}-1.

$$x-1+\left(x+1\right)\times 2=x^{2}+2x$$

2తో x+1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$x-1+2x+2=x^{2}+2x$$

3xని పొందడం కోసం x మరియు 2xని జత చేయండి.

$$3x-1+2=x^{2}+2x$$

1ని పొందడం కోసం -1 మరియు 2ని కూడండి.

$$3x+1=x^{2}+2x$$

రెండు భాగాల నుండి x^{2}ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+1-x^{2}=2x$$

రెండు భాగాల నుండి 2xని వ్యవకలనం చేయండి.

$$3x+1-x^{2}-2x=0$$

xని పొందడం కోసం 3x మరియు -2xని జత చేయండి.

$$x+1-x^{2}=0$$

రెండు భాగాల నుండి 1ని వ్యవకలనం చేయండి. సున్నా నుండి ఏ సంఖ్యను తీసివేసినా కూడా దాని రుణాత్మక రూపం వస్తుంది.

$$x-x^{2}=-1$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$-x^{2}+x=-1$$

రెండు వైపులా -1తో భాగించండి.

$$\frac{-x^{2}+x}{-1}=-\frac{1}{-1}$$

-1తో భాగించడం ద్వారా -1 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}+\frac{1}{-1}x=-\frac{1}{-1}$$

-1తో 1ని భాగించండి.

$$x^{2}-x=-\frac{1}{-1}$$

-1తో -1ని భాగించండి.

$$x^{2}-x=1$$

x రాశి యొక్క గుణకము -1ని 2తో భాగించి -\frac{1}{2}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{1}{2} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-x+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=1+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{1}{2}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}కు 1ని కూడండి.

$$x^{2}-x+\frac{1}{4}=\frac{5}{4}$$

కారకం x^{2}-x+\frac{1}{4}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{5}{4}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{5}{4}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{1}{2}=\frac{\sqrt{5}}{2} x-\frac{1}{2}=-\frac{\sqrt{5}}{2}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{1}{2}ని కూడండి.

$$x=\frac{\sqrt{5}+1}{2} x=\frac{1-\sqrt{5}}{2}$$