(x+3)(6-x)/36-4x^2=-1/4 పరిష్కరించండి

$$\frac { ( x + 3 ) ( 6 - x ) } { 36 - 4 x ^ { 2 } } = - \frac { 1 } { 4 }$$

xని పరిష్కరించండి

$$x = \frac{9}{2} = 4\frac{1}{2} = 4.5$$

గ్రూపింగ్ ద్వారా ఫ్యాక్టరింగ్‌ను ఉపయోగించడంలో దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4\left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 36-4x^{2},4.

$$-\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

x+3తో -1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(-x-3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

-x-3ని 6-xని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

x-3తో -1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=\left(-x+3\right)\left(x+3\right)$$

-x+3ని x+3ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=-x^{2}+9$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$-3x+x^{2}-18+x^{2}=9$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$-3x+2x^{2}-18=9$$

రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+2x^{2}-18-9=0$$

-27ని పొందడం కోసం 9ని -18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+2x^{2}-27=0$$

దీనిని ప్రామాణిక రూపంలో పెట్టడం కోసం పాలినామియల్‌ను సరి చేయండి. పదాలను అత్యధిక పవర్ నుండి అతి తక్కువ పవర్ క్రమంలో క్రమీకరించండి.

$$2x^{2}-3x-27=0$$

సమీకరణాన్ని పరిష్కరించడం కోసం, ఎడమ చేతి వైపును గ్రూప్ చేసి, ఫ్యాక్టర్ చేయండి. ముందుగా, ఎడమ చేతి వైపును 2x^{2}+ax+bx-27 లాగా తిరిగి వ్రాయాలి. a, bను కనుగొనాలంటే, పరిష్కరించాల్సిన సిస్టమ్‌ను సెటప్ చేయాలి.

$$a+b=-3 ab=2\left(-27\right)=-54$$

ab నెగిటివ్ కనుక, a మరియు b వ్యతిరేక గుర్తులను కలిగి ఉంటాయి. a+b నెగిటివ్ కనుక, పాజిటివ్ సంఖ్య కంటే కూడా నెగిటివ్ సంఖ్యకు ఎక్కువ అబ్జల్యూట్ విలువ ఉంటుంది. ప్రాడక్ట్ -54ని అందించగల అన్ని పెయిర్‌లను జాబితా చేయండి.

$$1,-54 2,-27 3,-18 6,-9$$

ప్రతి పెయిర్ యొక్క మొత్తాన్ని గణించండి.

$$1-54=-53 2-27=-25 3-18=-15 6-9=-3$$

సమ్ -3ను అందించే పెయిర్‌ మన పరిష్కారం.

$$a=-9 b=6$$

\left(2x^{2}-9x\right)+\left(6x-27\right)ని 2x^{2}-3x-27 వలె తిరిగి వ్రాయండి.

$$\left(2x^{2}-9x\right)+\left(6x-27\right)$$

మొదటి సమూహంలో x మరియు రెండవ సమూహంలో 3 ఫ్యాక్టర్ చేయండి.

$$x\left(2x-9\right)+3\left(2x-9\right)$$

డిస్ట్రిబ్యూటివ్ ప్రాపర్టీని ఉపయోగించి కామన్ టర్మ్ 2x-9ని ఫ్యాక్టర్ అవుట్ చేయండి.

$$\left(2x-9\right)\left(x+3\right)$$

సమీకరణ పరిష్కారాలను కనుగొనడం కోసం, 2x-9=0 మరియు x+3=0ని పరిష్కరించండి.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{9}{2}$$

చతురస్రీయమైన సూత్రాన్ని ఉపయోగించడం కోసం దిశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4\left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 36-4x^{2},4.

$$-\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

x+3తో -1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(-x-3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

-x-3ని 6-xని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

x-3తో -1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=\left(-x+3\right)\left(x+3\right)$$

-x+3ని x+3ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=-x^{2}+9$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$-3x+x^{2}-18+x^{2}=9$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$-3x+2x^{2}-18=9$$

రెండు భాగాల నుండి 9ని వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+2x^{2}-18-9=0$$

-27ని పొందడం కోసం 9ని -18 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$-3x+2x^{2}-27=0$$

వర్గ సూత్రాన్ని ఉపయోగించి రూపం ax^{2}+bx+c=0లోని అన్ని సమీకరణములను పరిష్కరించవచ్చు: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. వర్గ సూత్రంతో రెండు పరిష్కారాలు లభిస్తాయి, ±ని కూడినప్పుడు ఒకటి మరియు తీసివేసినప్పుడు మరొకటి.

$$2x^{2}-3x-27=0$$

ఈ సమీకరణం ప్రామాణిక ఆకృతిలో ఉంది: ax^{2}+bx+c=0. చతురస్రీయమైన సూత్రం \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} a స్థానంలో 2, b స్థానంలో -3 మరియు c స్థానంలో -27 ప్రతిక్షేపించండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-3 వర్గము.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-4\times 2\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-4 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9-8\left(-27\right)}}{2\times 2}$$

-8 సార్లు -27ని గుణించండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{9+216}}{2\times 2}$$

216కు 9ని కూడండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{225}}{2\times 2}$$

225 వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$x=\frac{-\left(-3\right)±15}{2\times 2}$$

-3 సంఖ్య యొక్క వ్యతిరేకం 3.

$$x=\frac{3±15}{2\times 2}$$

2 సార్లు 2ని గుణించండి.

$$x=\frac{3±15}{4}$$

ఇప్పుడు ± ధనాత్మకం అని భావించి x=\frac{3±15}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 15కు 3ని కూడండి.

$$x=\frac{18}{4}$$

2ని సంగ్రహించడం మరియు తీసివేయడం కోసం \frac{18}{4} యొక్క భిన్నమును అత్యంత తక్కువ విలువలకు తగ్గించండి.

$$x=\frac{9}{2}$$

ఇప్పుడు ± రుణాత్మకం అని భావించి x=\frac{3±15}{4} సమీకరణాన్ని పరిష్కరించండి. 15ని 3 నుండి వ్యవకలనం చేయండి.

$$x=-\frac{12}{4}$$

4తో -12ని భాగించండి.

$$x=-3$$

సమీకరణం ఇప్పుడు పరిష్కరించబడింది.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{9}{2}$$

చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయడం కోసం దశలు

సున్నాతో భాగించడం సాధ్యం కాదు కనుక వేరియబుల్ x అన్నది -3,3 విలువలలో దేనితోనూ సమానంగా ఉండకూడదు. సమీకరణం రెండు వైపులా 4\left(x-3\right)\left(x+3\right)తో గుణించండి, కనిష్ట సామాన్య గుణిజము 36-4x^{2},4.

$$-\left(x+3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

x+3తో -1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$\left(-x-3\right)\left(6-x\right)=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

-x-3ని 6-xని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=-\left(x-3\right)\left(x+3\right)$$

x-3తో -1ని గుణించడం కోసం పంచి యిచ్చెడు నియమాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=\left(-x+3\right)\left(x+3\right)$$

-x+3ని x+3ని గుణించి, సారూప్య అంశాలను కలపడం కోసం డిస్ట్రిబ్యూటివ్ లక్షణాన్ని ఉపయోగించండి.

$$-3x+x^{2}-18=-x^{2}+9$$

రెండు వైపులా x^{2}ని జోడించండి.

$$-3x+x^{2}-18+x^{2}=9$$

2x^{2}ని పొందడం కోసం x^{2} మరియు x^{2}ని జత చేయండి.

$$-3x+2x^{2}-18=9$$

రెండు వైపులా 18ని జోడించండి.

$$-3x+2x^{2}=9+18$$

27ని పొందడం కోసం 9 మరియు 18ని కూడండి.

$$-3x+2x^{2}=27$$

చతరుస్రాన్ని పూర్తి చేయడం ద్వారా ఇటువంటి చతురస్రీయమైన సమీకరణాలను పరిష్కరించవచ్చు. చతురస్రాన్ని పూర్తి చేయాలంటే, సమీకరణం తప్పనిసరిగా x^{2}+bx=c ఆకృతిలో ఉండాలి.

$$2x^{2}-3x=27$$

రెండు వైపులా 2తో భాగించండి.

$$\frac{2x^{2}-3x}{2}=\frac{27}{2}$$

2తో భాగించడం ద్వారా 2 యొక్క గుణకారము చర్యరద్దు చేయబడుతుంది.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x=\frac{27}{2}$$

x రాశి యొక్క గుణకము -\frac{3}{2}ని 2తో భాగించి -\frac{3}{4}ని పొందండి. ఆపై సమీకరణము యొక్క రెండు వైపులా ఫలితానికి -\frac{3}{4} యొక్క వర్గమును జోడించండి. సమీకరణము ఈ దశ తర్వాత ఎడమవైపు సంపూర్ణచతురస్రము.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{27}{2}+\left(-\frac{3}{4}\right)^{2}$$

భిన్నము యొక్క లవము మరియు హారమును వర్గము చేయడం ద్వారా -\frac{3}{4}ని వర్గము చేయండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{27}{2}+\frac{9}{16}$$

ఉమ్మడి హారమును కనుగొనడం మరియు లవములను కూడటం ద్వారా \frac{9}{16}కు \frac{27}{2}ని కూడండి. సాధ్యమైతే అత్యంత తక్కువ విలువల యొక్క భిన్నముని తగ్గించండి.

$$x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}=\frac{225}{16}$$

కారకం x^{2}-\frac{3}{2}x+\frac{9}{16}. సాధారణంగా, x^{2}+bx+c ఖచ్చితమైన చతురస్రం అయినప్పుడు అది ఎల్లప్పుడూ \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2}గా కారకం చేయబడుతుంది.

$$\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}=\frac{225}{16}$$

సమీకరణము యొక్క రెండు భాగాల యొక్క లాగరిథమ్‌ను వర్గమూలాన్ని తీసుకోండి.

$$\sqrt{\left(x-\frac{3}{4}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{16}}$$

సరళీకృతం చేయండి.

$$x-\frac{3}{4}=\frac{15}{4} x-\frac{3}{4}=-\frac{15}{4}$$

సమీకరణం యొక్క రెండు వైపులా \frac{3}{4}ని కూడండి.

$$x=\frac{9}{2} x=-3$$

వేరియబుల్ x అన్నది -3కి సమానంగా ఉండకూడదు.

$$x=\frac{9}{2}$$