n^2-n-210=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$n ^ { 2 } - n - 210 = 0$$

n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$n=-14$$

$$n=15$$

காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, n^{2}-n-210 காரணியானது n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-1 ab=-210$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -210 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

-1 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-15 b=14$$

பெறப்பட்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி பின்னக் கோவை \left(n+a\right)\left(n+b\right)-ஐ மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, n-15=0 மற்றும் n+14=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$n=15 n=-14$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை n^{2}+an+bn-210-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-1 ab=1\left(-210\right)=-210$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -210 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-210 2,-105 3,-70 5,-42 6,-35 7,-30 10,-21 14,-15$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-210=-209 2-105=-103 3-70=-67 5-42=-37 6-35=-29 7-30=-23 10-21=-11 14-15=-1$$

-1 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-15 b=14$$

n^{2}-n-210 என்பதை \left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(14n-210\right)$$

முதல் குழுவில் n மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 14-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$n\left(n-15\right)+14\left(n-15\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி n-15 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(n-15\right)\left(n+14\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, n-15=0 மற்றும் n+14=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$n=15 n=-14$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$n^{2}-n-210=0$$

இந்தச் சமன்பாடு வழக்கமான வடிவத்தில் உள்ளது: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} என்ற இருபடி சூத்திரத்தில் a-க்குப் பதிலாக 1, b-க்குப் பதிலாக -1 மற்றும் c-க்கு பதிலாக -210-ஐ பதலீடு செய்யவும்.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1-4\left(-210\right)}}{2}$$

-210-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{1+840}}{2}$$

840-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±\sqrt{841}}{2}$$

841-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-1\right)±29}{2}$$

-1-க்கு எதிரில் இருப்பது 1.

$$n=\frac{1±29}{2}$$

இப்போது ± நேர்மறையாக உள்ளபோது n=\frac{1±29}{2} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். 29-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=\frac{30}{2}$$

30-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=15$$

இப்போது ± எதிர்மறையாக உள்ளபோது n=\frac{1±29}{2} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். 1–இலிருந்து 29–ஐக் கழிக்கவும்.

$$n=-\frac{28}{2}$$

-28-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=-14$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$n=15 n=-14$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$n^{2}-n-210=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 210-ஐக் கூட்டவும்.

$$n^{2}-n-210-\left(-210\right)=-\left(-210\right)$$

-210-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$n^{2}-n=-\left(-210\right)$$

0–இலிருந்து -210–ஐக் கழிக்கவும்.

$$n^{2}-n=210$$

-\frac{1}{2}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான -1-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு -\frac{1}{2}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$n^{2}-n+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}=210+\left(-\frac{1}{2}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், -\frac{1}{2}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=210+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}-க்கு 210-ஐக் கூட்டவும்.

$$n^{2}-n+\frac{1}{4}=\frac{841}{4}$$

காரணி n^{2}-n+\frac{1}{4}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும் போது, அதை எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ஆகக் காரணிப்படுத்தலாம்.

$$\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{841}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(n-\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{4}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$n-\frac{1}{2}=\frac{29}{2} n-\frac{1}{2}=-\frac{29}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=15 n=-14$$