n^2-11n-60=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$n ^ { 2 } - 11 n - 60 = 0$$

n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$n=-4$$

$$n=15$$

காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, n^{2}-11n-60 காரணியானது n^{2}+\left(a+b\right)n+ab=\left(n+a\right)\left(n+b\right) சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகிறது. a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-11 ab=-60$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -60 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

-11 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-15 b=4$$

பெறப்பட்ட மதிப்புகளைப் பயன்படுத்தி பின்னக் கோவை \left(n+a\right)\left(n+b\right)-ஐ மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, n-15=0 மற்றும் n+4=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$n=15 n=-4$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை n^{2}+an+bn-60-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-11 ab=1\left(-60\right)=-60$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -60 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-60 2,-30 3,-20 4,-15 5,-12 6,-10$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-60=-59 2-30=-28 3-20=-17 4-15=-11 5-12=-7 6-10=-4$$

-11 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-15 b=4$$

n^{2}-11n-60 என்பதை \left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(n^{2}-15n\right)+\left(4n-60\right)$$

முதல் குழுவில் n மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 4-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$n\left(n-15\right)+4\left(n-15\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி n-15 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(n-15\right)\left(n+4\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, n-15=0 மற்றும் n+4=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$n=15 n=-4$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$n^{2}-11n-60=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 1, b-க்குப் பதிலாக -11 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -60-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\left(-60\right)}}{2}$$

-11-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\left(-60\right)}}{2}$$

-60-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+240}}{2}$$

240-க்கு 121-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{361}}{2}$$

361-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-11\right)±19}{2}$$

-11-க்கு எதிரில் இருப்பது 11.

$$n=\frac{11±19}{2}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு n=\frac{11±19}{2}-ஐத் தீர்க்கவும். 19-க்கு 11-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=\frac{30}{2}$$

30-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=15$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு n=\frac{11±19}{2}-ஐத் தீர்க்கவும். 11–இலிருந்து 19–ஐக் கழிக்கவும்.

$$n=-\frac{8}{2}$$

-8-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=-4$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$n=15 n=-4$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$n^{2}-11n-60=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$n^{2}-11n-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$n^{2}-11n=-\left(-60\right)$$

0–இலிருந்து -60–ஐக் கழிக்கவும்.

$$n^{2}-11n=60$$

-\frac{11}{2}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான -11-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு -\frac{11}{2}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$n^{2}-11n+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}=60+\left(-\frac{11}{2}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், -\frac{11}{2}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=60+\frac{121}{4}$$

\frac{121}{4}-க்கு 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$n^{2}-11n+\frac{121}{4}=\frac{361}{4}$$

காரணி n^{2}-11n+\frac{121}{4}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}=\frac{361}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(n-\frac{11}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{361}{4}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$n-\frac{11}{2}=\frac{19}{2} n-\frac{11}{2}=-\frac{19}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{11}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=15 n=-4$$