4n^2-7n=11-ஐ தீர்க்கவும்

$$4 n ^ { 2 } - 7 n = 11$$

n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$n=-1$$

$$n = \frac{11}{4} = 2\frac{3}{4} = 2.75$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 11-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை 4n^{2}+an+bn-11-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-7 ab=4\left(-11\right)=-44$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -44 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-44 2,-22 4,-11$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-44=-43 2-22=-20 4-11=-7$$

-7 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-11 b=4$$

4n^{2}-7n-11 என்பதை \left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(4n^{2}-11n\right)+\left(4n-11\right)$$

4n^{2}-11n-இல் n ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$n\left(4n-11\right)+4n-11$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி 4n-11 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(4n-11\right)\left(n+1\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, 4n-11=0 மற்றும் n+1=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$4n^{2}-7n=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 11-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4n^{2}-7n-11=11-11$$

11-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$4n^{2}-7n-11=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 4, b-க்குப் பதிலாக -7 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -11-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{\left(-7\right)^{2}-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-7-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-4\times 4\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

4-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49-16\left(-11\right)}}{2\times 4}$$

-11-ஐ -16 முறை பெருக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{49+176}}{2\times 4}$$

176-க்கு 49-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±\sqrt{225}}{2\times 4}$$

225-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$n=\frac{-\left(-7\right)±15}{2\times 4}$$

-7-க்கு எதிரில் இருப்பது 7.

$$n=\frac{7±15}{2\times 4}$$

4-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$n=\frac{7±15}{8}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு n=\frac{7±15}{8}-ஐத் தீர்க்கவும். 15-க்கு 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=\frac{22}{8}$$

2-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{22}{8}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$n=\frac{11}{4}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு n=\frac{7±15}{8}-ஐத் தீர்க்கவும். 7–இலிருந்து 15–ஐக் கழிக்கவும்.

$$n=-\frac{8}{8}$$

-8-ஐ 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=-1$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$4n^{2}-7n=11$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{4n^{2}-7n}{4}=\frac{11}{4}$$

4-ஆல் வகுத்தல் 4-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n=\frac{11}{4}$$

-\frac{7}{8}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான -\frac{7}{4}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு -\frac{7}{8}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{11}{4}+\left(-\frac{7}{8}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், -\frac{7}{8}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{11}{4}+\frac{49}{64}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{49}{64} உடன் \frac{11}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}=\frac{225}{64}$$

காரணி n^{2}-\frac{7}{4}n+\frac{49}{64}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}=\frac{225}{64}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(n-\frac{7}{8}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{225}{64}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$n-\frac{7}{8}=\frac{15}{8} n-\frac{7}{8}=-\frac{15}{8}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{7}{8}-ஐக் கூட்டவும்.

$$n=\frac{11}{4} n=-1$$