4x^2+4x=120-ஐ தீர்க்கவும்

$$4 { x }^{ 2 } +4x=120$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-6$$

$$x=5$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x^{2}+x-30=0$$

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை x^{2}+ax+bx-30-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=1 ab=1\left(-30\right)=-30$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b நேர்மறையாக இருப்பதால், எதிர்மறை எண்ணை விட நேர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -30 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$-1,30 -2,15 -3,10 -5,6$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$-1+30=29 -2+15=13 -3+10=7 -5+6=1$$

1 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-5 b=6$$

x^{2}+x-30 என்பதை \left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(x^{2}-5x\right)+\left(6x-30\right)$$

முதல் குழுவில் x மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 6-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$x\left(x-5\right)+6\left(x-5\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி x-5 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(x-5\right)\left(x+6\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, x-5=0 மற்றும் x+6=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x=5 x=-6$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$4x^{2}+4x=120$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 120-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x^{2}+4x-120=120-120$$

120-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$4x^{2}+4x-120=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 4, b-க்குப் பதிலாக 4 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -120-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 4\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

4-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-16\left(-120\right)}}{2\times 4}$$

-120-ஐ -16 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+1920}}{2\times 4}$$

1920-க்கு 16-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{1936}}{2\times 4}$$

1936-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-4±44}{2\times 4}$$

4-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±44}{8}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{-4±44}{8}-ஐத் தீர்க்கவும். 44-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{40}{8}$$

40-ஐ 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=5$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{-4±44}{8}-ஐத் தீர்க்கவும். -4–இலிருந்து 44–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{48}{8}$$

-48-ஐ 8-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-6$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=5 x=-6$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$4x^{2}+4x=120$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{4x^{2}+4x}{4}=\frac{120}{4}$$

4-ஆல் வகுத்தல் 4-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$x^{2}+\frac{4}{4}x=\frac{120}{4}$$

4-ஐ 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x^{2}+x=\frac{120}{4}$$

120-ஐ 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x^{2}+x=30$$

\frac{1}{2}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான 1-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு \frac{1}{2}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}+x+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}=30+\left(\frac{1}{2}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், \frac{1}{2}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=30+\frac{1}{4}$$

\frac{1}{4}-க்கு 30-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{2}+x+\frac{1}{4}=\frac{121}{4}$$

காரணி x^{2}+x+\frac{1}{4}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}=\frac{121}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x+\frac{1}{2}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{121}{4}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x+\frac{1}{2}=\frac{11}{2} x+\frac{1}{2}=-\frac{11}{2}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=5 x=-6$$