3x^2-31x-60=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$3 { x }^{ 2 } -31x-60=0$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = -\frac{5}{3} = -1\frac{2}{3} \approx -1.666666667$$

$$x=12$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை 3x^{2}+ax+bx-60-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-31 ab=3\left(-60\right)=-180$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -180 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

-31 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-36 b=5$$

3x^{2}-31x-60 என்பதை \left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(3x^{2}-36x\right)+\left(5x-60\right)$$

முதல் குழுவில் 3x மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 5-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$3x\left(x-12\right)+5\left(x-12\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி x-12 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(x-12\right)\left(3x+5\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, x-12=0 மற்றும் 3x+5=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 3, b-க்குப் பதிலாக -31 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -60-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{\left(-31\right)^{2}-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-31-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-4\times 3\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

3-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961-12\left(-60\right)}}{2\times 3}$$

-60-ஐ -12 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{961+720}}{2\times 3}$$

720-க்கு 961-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±\sqrt{1681}}{2\times 3}$$

1681-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-\left(-31\right)±41}{2\times 3}$$

-31-க்கு எதிரில் இருப்பது 31.

$$x=\frac{31±41}{2\times 3}$$

3-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{31±41}{6}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{31±41}{6}-ஐத் தீர்க்கவும். 41-க்கு 31-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{72}{6}$$

72-ஐ 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=12$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{31±41}{6}-ஐத் தீர்க்கவும். 31–இலிருந்து 41–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{10}{6}$$

2-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{-10}{6}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{5}{3}$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$3x^{2}-31x-60=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 60-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x^{2}-31x-60-\left(-60\right)=-\left(-60\right)$$

-60-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$3x^{2}-31x=-\left(-60\right)$$

0–இலிருந்து -60–ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x^{2}-31x=60$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{3x^{2}-31x}{3}=\frac{60}{3}$$

3-ஆல் வகுத்தல் 3-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=\frac{60}{3}$$

60-ஐ 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x=20$$

-\frac{31}{6}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான -\frac{31}{3}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு -\frac{31}{6}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}=20+\left(-\frac{31}{6}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், -\frac{31}{6}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=20+\frac{961}{36}$$

\frac{961}{36}-க்கு 20-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}=\frac{1681}{36}$$

காரணி x^{2}-\frac{31}{3}x+\frac{961}{36}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}=\frac{1681}{36}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x-\frac{31}{6}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1681}{36}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x-\frac{31}{6}=\frac{41}{6} x-\frac{31}{6}=-\frac{41}{6}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{31}{6}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=12 x=-\frac{5}{3}$$