2y-3x=-22;2x+3y=32-ஐ தீர்க்கவும்

$$2 y - 3 x = - 22 ; 2 x + 3 y = 32$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=10$$

$$y=4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2y-3x=-22$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=3x-22$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}\left(3x-22\right)$$

3x-22-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=\frac{3}{2}x-11$$

பிற சமன்பாடு 3y+2x=32-இல் y-க்கு \frac{3x}{2}-11-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{3}{2}x-11\right)+2x=32$$

\frac{3x}{2}-11-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{9}{2}x-33+2x=32$$

2x-க்கு \frac{9x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{13}{2}x-33=32$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 33-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{13}{2}x=65$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{13}{2}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=10$$

y=\frac{3}{2}x-11-இல் x-க்கு 10-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{3}{2}\times 10-11$$

10-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=15-11$$

15-க்கு -11-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=4,x=10$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{2}{2\times 2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}&\frac{3}{13}\\-\frac{3}{13}&\frac{2}{13}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-22\\32\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{13}\left(-22\right)+\frac{3}{13}\times 32\\-\frac{3}{13}\left(-22\right)+\frac{2}{13}\times 32\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\10\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=4,x=10$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2y-3x=-22,3y+2x=32$$

2y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 2y+3\left(-3\right)x=3\left(-22\right),2\times 3y+2\times 2x=2\times 32$$

எளிமையாக்கவும்.

$$6y-9x=-66,6y+4x=64$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 6y-9x=-66-இலிருந்து 6y+4x=64-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6y-6y-9x-4x=-66-64$$

-6y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 6y மற்றும் -6y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-9x-4x=-66-64$$

-4x-க்கு -9x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13x=-66-64$$

-64-க்கு -66-ஐக் கூட்டவும்.

$$-13x=-130$$

இரு பக்கங்களையும் -13-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=10$$

3y+2x=32-இல் x-க்கு 10-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y+2\times 10=32$$

10-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3y+20=32$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y=12$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=4,x=10$$