2x-3y+5=0,4x+ky-2=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$2 x - 3 y + 5 = 0,4 x + k y - 2 = 0$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

$$y=\frac{12}{k+6}$$

$$k\neq -6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-3y+5=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=-5$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=3y-5$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-5\right)$$

3y-5-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}$$

பிற சமன்பாடு 4x+ky-2=0-இல் x-க்கு \frac{3y-5}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}\right)+ky-2=0$$

\frac{3y-5}{2}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$6y-10+ky-2=0$$

ky-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(k+6\right)y-10-2=0$$

-2-க்கு -10-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(k+6\right)y-12=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(k+6\right)y=12$$

இரு பக்கங்களையும் 6+k-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{5}{2}-இல் y-க்கு \frac{12}{6+k}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{2}\times \frac{12}{k+6}-\frac{5}{2}$$

\frac{12}{6+k}-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{18}{k+6}-\frac{5}{2}$$

\frac{18}{6+k}-க்கு -\frac{5}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\4&k\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2k-\left(-3\times 4\right)}&-\frac{-3}{2k-\left(-3\times 4\right)}\\-\frac{4}{2k-\left(-3\times 4\right)}&\frac{2}{2k-\left(-3\times 4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}&\frac{3}{2\left(k+6\right)}\\-\frac{2}{k+6}&\frac{1}{k+6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-5\\2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{k}{2\left(k+6\right)}\left(-5\right)+\frac{3}{2\left(k+6\right)}\times 2\\\left(-\frac{2}{k+6}\right)\left(-5\right)+\frac{1}{k+6}\times 2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)}\\\frac{12}{k+6}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{6-5k}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-3y+5=0,4x+ky-2=0$$

2x மற்றும் 4x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$4\times 2x+4\left(-3\right)y+4\times 5=0,2\times 4x+2ky+2\left(-2\right)=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$8x-12y+20=0,8x+2ky-4=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 8x-12y+20=0-இலிருந்து 8x+2ky-4=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8x-8x-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

-8x-க்கு 8x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 8x மற்றும் -8x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-12y+\left(-2k\right)y+20+4=0$$

-2ky-க்கு -12y-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-2k-12\right)y+20+4=0$$

4-க்கு 20-ஐக் கூட்டவும்.

$$\left(-2k-12\right)y+24=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 24-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\left(-2k-12\right)y=-24$$

இரு பக்கங்களையும் -12-2k-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{12}{k+6}$$

4x+ky-2=0-இல் y-க்கு \frac{12}{6+k}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4x+k\times \frac{12}{k+6}-2=0$$

\frac{12}{6+k}-ஐ k முறை பெருக்கவும்.

$$4x+\frac{12k}{k+6}-2=0$$

-2-க்கு \frac{12k}{6+k}-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x+\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{2\left(5k-6\right)}{6+k}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-\frac{2\left(5k-6\right)}{k+6}$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{5k-6}{2\left(k+6\right)},y=\frac{12}{k+6}$$