15x^2+11x+2=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$15 x ^ { 2 } + 11 x + 2 = 0$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{2}{5}=-0.4$$

$$x=-\frac{1}{3}\approx -0.333333333$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை 15x^{2}+ax+bx+2-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=11 ab=15\times 2=30$$

ab நேர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b ஒரே குறியைக் கொண்டிருக்கும். a+b நேர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b என இரண்டும் நேர்மறையாக இருக்கும். 30 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,30 2,15 3,10 5,6$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1+30=31 2+15=17 3+10=13 5+6=11$$

11 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=5 b=6$$

15x^{2}+11x+2 என்பதை \left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(15x^{2}+5x\right)+\left(6x+2\right)$$

முதல் குழுவில் 5x மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 2-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$5x\left(3x+1\right)+2\left(3x+1\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி 3x+1 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(3x+1\right)\left(5x+2\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, 3x+1=0 மற்றும் 5x+2=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

இந்தச் சமன்பாடு வழக்கமான வடிவத்தில் உள்ளது: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} என்ற இருபடி சூத்திரத்தில் a-க்குப் பதிலாக 15, b-க்குப் பதிலாக 11 மற்றும் c-க்கு பதிலாக 2-ஐ பதலீடு செய்யவும்.

$$x=\frac{-11±\sqrt{11^{2}-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

11-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-4\times 15\times 2}}{2\times 15}$$

15-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-60\times 2}}{2\times 15}$$

2-ஐ -60 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-11±\sqrt{121-120}}{2\times 15}$$

-120-க்கு 121-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-11±\sqrt{1}}{2\times 15}$$

1-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-11±1}{2\times 15}$$

15-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-11±1}{30}$$

இப்போது ± நேர்மறையாக உள்ளபோது x=\frac{-11±1}{30} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். 1-க்கு -11-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-\frac{10}{30}$$

10-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{-10}{30}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3}$$

இப்போது ± எதிர்மறையாக உள்ளபோது x=\frac{-11±1}{30} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். -11–இலிருந்து 1–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{12}{30}$$

6-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{-12}{30}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{5}$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$15x^{2}+11x+2=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$15x^{2}+11x+2-2=-2$$

2-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$15x^{2}+11x=-2$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{15x^{2}+11x}{15}=-\frac{2}{15}$$

15-ஆல் வகுத்தல் 15-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x=-\frac{2}{15}$$

\frac{11}{30}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான \frac{11}{15}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு \frac{11}{30}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}=-\frac{2}{15}+\left(\frac{11}{30}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், \frac{11}{30}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=-\frac{2}{15}+\frac{121}{900}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{121}{900} உடன் -\frac{2}{15}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}=\frac{1}{900}$$

காரணி x^{2}+\frac{11}{15}x+\frac{121}{900}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும் போது, அதை எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ஆகக் காரணிப்படுத்தலாம்.

$$\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}=\frac{1}{900}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x+\frac{11}{30}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{1}{900}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x+\frac{11}{30}=\frac{1}{30} x+\frac{11}{30}=-\frac{1}{30}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{11}{30}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{3} x=-\frac{2}{5}$$