15x^2+4x-4=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$15 { x }^{ 2 } +4x-4=0$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{2}{3}\approx -0.666666667$$

$$x=\frac{2}{5}=0.4$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை 15x^{2}+ax+bx-4-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=4 ab=15\left(-4\right)=-60$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b நேர்மறையாக இருப்பதால், எதிர்மறை எண்ணை விட நேர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -60 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$-1,60 -2,30 -3,20 -4,15 -5,12 -6,10$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$-1+60=59 -2+30=28 -3+20=17 -4+15=11 -5+12=7 -6+10=4$$

4 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-6 b=10$$

15x^{2}+4x-4 என்பதை \left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(15x^{2}-6x\right)+\left(10x-4\right)$$

முதல் குழுவில் 3x மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 2-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$3x\left(5x-2\right)+2\left(5x-2\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி 5x-2 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(5x-2\right)\left(3x+2\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, 5x-2=0 மற்றும் 3x+2=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 15, b-க்குப் பதிலாக 4 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -4-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

4-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\times 15\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

15-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-60\left(-4\right)}}{2\times 15}$$

-4-ஐ -60 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+240}}{2\times 15}$$

240-க்கு 16-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{256}}{2\times 15}$$

256-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-4±16}{2\times 15}$$

15-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±16}{30}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு x=\frac{-4±16}{30}-ஐத் தீர்க்கவும். 16-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{12}{30}$$

6-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{12}{30}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=\frac{2}{5}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு x=\frac{-4±16}{30}-ஐத் தீர்க்கவும். -4–இலிருந்து 16–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-\frac{20}{30}$$

10-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{-20}{30}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{3}$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$15x^{2}+4x-4=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$15x^{2}+4x-4-\left(-4\right)=-\left(-4\right)$$

-4-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$15x^{2}+4x=-\left(-4\right)$$

0–இலிருந்து -4–ஐக் கழிக்கவும்.

$$15x^{2}+4x=4$$

இரு பக்கங்களையும் 15-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{15x^{2}+4x}{15}=\frac{4}{15}$$

15-ஆல் வகுத்தல் 15-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x=\frac{4}{15}$$

\frac{2}{15}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான \frac{4}{15}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு \frac{2}{15}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{4}{15}+\left(\frac{2}{15}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், \frac{2}{15}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{4}{15}+\frac{4}{225}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{4}{225} உடன் \frac{4}{15}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}=\frac{64}{225}$$

காரணி x^{2}+\frac{4}{15}x+\frac{4}{225}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}=\frac{64}{225}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x+\frac{2}{15}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{64}{225}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x+\frac{2}{15}=\frac{8}{15} x+\frac{2}{15}=-\frac{8}{15}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{2}{15}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{2}{5} x=-\frac{2}{3}$$