12r^2-11r-15=0-ஐ தீர்க்கவும்

$$12 r ^ { 2 } - 11 r - 15 = 0$$

r-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$r=-\frac{3}{4}=-0.75$$

$$r = \frac{5}{3} = 1\frac{2}{3} \approx 1.666666667$$

குழுவாக்குதலின்படி காரணிப்படுத்தலைப் பயன்படுத்தி படிகள்

சமன்பாட்டைத் தீர்க்க, குழுவாக்கல் மூலம் இடது கை பக்கத்தைக் காரணிப்படுத்தவும். முதலில், இடது கை பக்கத்தை 12r^{2}+ar+br-15-ஆக மீண்டும் எழுதவும். a மற்றும் b-ஐக் கண்டறிய, தீர்ப்பதற்கான அமைப்பை அமைக்கவும்.

$$a+b=-11 ab=12\left(-15\right)=-180$$

ab எதிர்மறையாக இருப்பதால், a மற்றும் b எதிரெதிர் குறிகளைக் கொண்டிருக்கும். a+b எதிர்மறையாக இருப்பதால், நேர்மறை எண்ணை விட எதிர்மறை எண் பெரிய தனிமதிப்பைக் கொண்டிருக்கும். -180 மதிப்பைத் தரும் எல்லா முழு எண் ஜோடிகளையும் பட்டியலிடவும்.

$$1,-180 2,-90 3,-60 4,-45 5,-36 6,-30 9,-20 10,-18 12,-15$$

ஒவ்வொரு ஜோடிக்குமான கூட்டலைக் கணக்கிடவும்.

$$1-180=-179 2-90=-88 3-60=-57 4-45=-41 5-36=-31 6-30=-24 9-20=-11 10-18=-8 12-15=-3$$

-11 என்ற கூட்டல் மதிப்பைத் தரும் ஜோடிதான் தீர்வு.

$$a=-20 b=9$$

12r^{2}-11r-15 என்பதை \left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right) என மீண்டும் எழுதவும்.

$$\left(12r^{2}-20r\right)+\left(9r-15\right)$$

முதல் குழுவில் 4r மற்றும் இரண்டாவது குழுவில் 3-ஐக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$4r\left(3r-5\right)+3\left(3r-5\right)$$

பரவல் பண்பைப் பயன்படுத்தி 3r-5 என்ற பொதுவான சொல்லைக் காரணிப்படுத்தவும்.

$$\left(3r-5\right)\left(4r+3\right)$$

சமன்பாட்டுத் தீர்வுகளைக் கண்டறிய, 3r-5=0 மற்றும் 4r+3=0-ஐத் தீர்க்கவும்.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

இந்தச் சமன்பாடு நிலையான வடிவத்தில் உள்ளது: குவாட்ரேட்டிக் சூத்திரம் \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}-இல் ax^{2}+bx+c=0. a-க்குப் பதிலாக 12, b-க்குப் பதிலாக -11 மற்றும் c-க்குப் பதிலாக -15-ஐப் பதிலீடு செய்து, தீர்க்கவும்.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{\left(-11\right)^{2}-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-11-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-4\times 12\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

12-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121-48\left(-15\right)}}{2\times 12}$$

-15-ஐ -48 முறை பெருக்கவும்.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{121+720}}{2\times 12}$$

720-க்கு 121-ஐக் கூட்டவும்.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±\sqrt{841}}{2\times 12}$$

841-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$r=\frac{-\left(-11\right)±29}{2\times 12}$$

-11-க்கு எதிரில் இருப்பது 11.

$$r=\frac{11±29}{2\times 12}$$

12-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$r=\frac{11±29}{24}$$

இப்போது ± கூட்டலாக இருக்கும்போது .சமன்பாடு r=\frac{11±29}{24}-ஐத் தீர்க்கவும். 29-க்கு 11-ஐக் கூட்டவும்.

$$r=\frac{40}{24}$$

8-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{40}{24}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$r=\frac{5}{3}$$

± எதிர்மறை எணணாக இருக்கும்போது இப்போது சமன்பாடு r=\frac{11±29}{24}-ஐத் தீர்க்கவும். 11–இலிருந்து 29–ஐக் கழிக்கவும்.

$$r=-\frac{18}{24}$$

6-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{-18}{24}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$r=-\frac{3}{4}$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$12r^{2}-11r-15=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 15-ஐக் கூட்டவும்.

$$12r^{2}-11r-15-\left(-15\right)=-\left(-15\right)$$

-15-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$12r^{2}-11r=-\left(-15\right)$$

0–இலிருந்து -15–ஐக் கழிக்கவும்.

$$12r^{2}-11r=15$$

இரு பக்கங்களையும் 12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$\frac{12r^{2}-11r}{12}=\frac{15}{12}$$

12-ஆல் வகுத்தல் 12-ஆல் பெருக்குவதைச் செயல்நீக்கும்.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{15}{12}$$

3-ஐ பிரித்தல் மற்றும் ரத்துசெய்வதன் மூலம் பின்னம் \frac{15}{12}-ஐ குறைந்த படிக்கு குறைக்கவும்.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r=\frac{5}{4}$$

-\frac{11}{24}-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான -\frac{11}{12}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு -\frac{11}{24}-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{5}{4}+\left(-\frac{11}{24}\right)^{2}$$

பின்னத்தின் தொகுதி மற்றும் பகுதி ஆகிய இரண்டையும் வர்க்கமாக்குவதன் மூலம், -\frac{11}{24}-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{5}{4}+\frac{121}{576}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{121}{576} உடன் \frac{5}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}=\frac{841}{576}$$

காரணி r^{2}-\frac{11}{12}r+\frac{121}{576}. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும்போது, அது எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} என காரணியாக இருக்கலாம்.

$$\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}=\frac{841}{576}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(r-\frac{11}{24}\right)^{2}}=\sqrt{\frac{841}{576}}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$r-\frac{11}{24}=\frac{29}{24} r-\frac{11}{24}=-\frac{29}{24}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{11}{24}-ஐக் கூட்டவும்.

$$r=\frac{5}{3} r=-\frac{3}{4}$$