x^3+1/x^3=3-ஐ தீர்க்கவும்

$${ x }^{ 3 } + \frac{ 1 }{ { x }^{ 3 } } =3$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$x\in \frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{\sqrt{5}+3}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{4\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}e^{\frac{2\pi i}{3}}}{2},\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x^{3}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

ஒரே அடியின் அடுக்குகளைப் பெருக்க, அவற்றின் அடுக்குகளைக் கூட்டவும். 6-ஐப் பெற, 3 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x^{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

x^{3}-க்குப் பதிலாக t-ஐ மாற்றவும்.

$$t^{2}-3t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 வடிவத்தில் உள்ள எல்லாச் சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரத்தில் a-க்குப் பதிலாக 1, b-க்குப் பதிலாக -3 மற்றும் c-க்கு பதிலாக 1-ஐ பதிலீடு செய்யவும்.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

கணக்கீடுகளைச் செய்யவும்.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

± நேர் எண்ணிலும் ± எதிர் எண்ணிலும் உள்ளபோது, சமன்பாடு t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}-ஐச் சரிசெய்யவும்.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

x=t^{3}-க்குப் பிறகு ஒவ்வொரு t-க்காகவும் சமன்பாட்டை மதிப்பிடுவதன் மூலம் தீர்வுகள் பெறப்பட்டன.

$$x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$

மாறி x ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது.

$$x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0 x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}ie^{\frac{\pi i}{6}}\text{, }x\neq 0 x=-\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}}e^{\frac{\pi i}{3}}\text{, }x\neq 0$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\frac{2^{\frac{2}{3}}\sqrt[3]{3-\sqrt{5}}}{2}\approx 0.72556263$$

$$x = \frac{2 ^ {\frac{2}{3}} \sqrt[3]{\sqrt{5} + 3}}{2} \approx 1.378240772$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி x ஆனது 0-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் x^{3}-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x^{3}x^{3}+1=3x^{3}$$

ஒரே அடியின் அடுக்குகளைப் பெருக்க, அவற்றின் அடுக்குகளைக் கூட்டவும். 6-ஐப் பெற, 3 மற்றும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{6}+1=3x^{3}$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x^{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x^{6}+1-3x^{3}=0$$

x^{3}-க்குப் பதிலாக t-ஐ மாற்றவும்.

$$t^{2}-3t+1=0$$

ax^{2}+bx+c=0 வடிவத்தில் உள்ள எல்லாச் சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தி தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரத்தில் a-க்குப் பதிலாக 1, b-க்குப் பதிலாக -3 மற்றும் c-க்கு பதிலாக 1-ஐ பதிலீடு செய்யவும்.

$$t=\frac{-\left(-3\right)±\sqrt{\left(-3\right)^{2}-4\times 1\times 1}}{2}$$

கணக்கீடுகளைச் செய்யவும்.

$$t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}$$

± நேர் எண்ணிலும் ± எதிர் எண்ணிலும் உள்ளபோது, சமன்பாடு t=\frac{3±\sqrt{5}}{2}-ஐச் சரிசெய்யவும்.

$$t=\frac{\sqrt{5}+3}{2} t=\frac{3-\sqrt{5}}{2}$$

x=t^{3}-க்குப் பிறகு ஒவ்வொரு t-க்காகவும் x=\sqrt[3]{t}-ஐ மதிப்பிடுவதன் மூலம் தீர்வுகள் பெறப்பட்டன.

$$x=\sqrt[3]{\frac{\sqrt{5}+3}{2}} x=\sqrt[3]{\frac{3-\sqrt{5}}{2}}$$