x^2+4x-7=0-ஐ தீர்க்கவும்

$${ x }^{ 2 } +4x-7 = 0$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும் (சிக்கலான தீர்வு)

$$x=\sqrt{11}-2\approx 1.31662479$$

$$x=-\left(\sqrt{11}+2\right)\approx -5.31662479$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$x^{2}+4x-7=0$$

இந்தச் சமன்பாடு வழக்கமான வடிவத்தில் உள்ளது: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} என்ற இருபடி சூத்திரத்தில் a-க்குப் பதிலாக 1, b-க்குப் பதிலாக 4 மற்றும் c-க்கு பதிலாக -7-ஐ பதலீடு செய்யவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

4-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

-7-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+28}}{2}$$

28-க்கு 16-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{44}}{2}$$

44-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}$$

இப்போது ± நேர்மறையாக உள்ளபோது x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். 2\sqrt{11}-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-4}{2}$$

-4+2\sqrt{11}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\sqrt{11}-2$$

இப்போது ± எதிர்மறையாக உள்ளபோது x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். -4–இலிருந்து 2\sqrt{11}–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-4}{2}$$

-4-2\sqrt{11}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\sqrt{11}-2$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$x^{2}+4x-7=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

0–இலிருந்து -7–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x^{2}+4x=7$$

2-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான 4-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு 2-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}+4x+2^{2}=7+2^{2}$$

2-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}+4x+4=7+4$$

4-க்கு 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{2}+4x+4=11$$

காரணி x^{2}+4x+4. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும் போது, அதை எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ஆகக் காரணிப்படுத்தலாம்.

$$\left(x+2\right)^{2}=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x+2=\sqrt{11} x+2=-\sqrt{11}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=\sqrt{11}-2\approx 1.31662479$$

$$x=-\sqrt{11}-2\approx -5.31662479$$

இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

ax^{2}+bx+c=0 என்ற வடிவத்தின் எல்லா சமன்பாடுகளையும் இருபடிச் சூத்திரத்தைப் பயன்படுத்தித் தீர்க்கலாம்: \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}. இருபடிச் சூத்திரம் இரண்டு தீர்வுகளை வழங்குகிறது, ± ஆனது கூட்டலாக இருக்கும் போது ஒன்று, அது கழித்தலாக இருக்கும் போது ஒன்று.

$$x^{2}+4x-7=0$$

இந்தச் சமன்பாடு வழக்கமான வடிவத்தில் உள்ளது: ax^{2}+bx+c=0. \frac{-b±\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a} என்ற இருபடி சூத்திரத்தில் a-க்குப் பதிலாக 1, b-க்குப் பதிலாக 4 மற்றும் c-க்கு பதிலாக -7-ஐ பதலீடு செய்யவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{4^{2}-4\left(-7\right)}}{2}$$

4-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16-4\left(-7\right)}}{2}$$

-7-ஐ -4 முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{16+28}}{2}$$

28-க்கு 16-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{-4±\sqrt{44}}{2}$$

44-இன் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2}$$

இப்போது ± நேர்மறையாக உள்ளபோது x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். 2\sqrt{11}-க்கு -4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=\frac{2\sqrt{11}-4}{2}$$

-4+2\sqrt{11}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\sqrt{11}-2$$

இப்போது ± எதிர்மறையாக உள்ளபோது x=\frac{-4±2\sqrt{11}}{2} சமன்பாட்டைத் தீர்க்கவும். -4–இலிருந்து 2\sqrt{11}–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\frac{-2\sqrt{11}-4}{2}$$

-4-2\sqrt{11}-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\sqrt{11}-2$$

இப்போது சமன்பாடு தீர்க்கப்பட்டது.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$

வர்க்கத்தை நிறைவு செய்வதற்கான படிகள்

இதைப் போன்ற இருபடிச் சமன்பாடுகளை வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதன் மூலம் தீர்க்கலாம். வர்க்கத்தைப் பூர்த்தி செய்வதற்கு, சமன்பாடு முதலில் x^{2}+bx=c என்ற வடிவத்தில் இருக்க வேண்டும்.

$$x^{2}+4x-7=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{2}+4x-7-\left(-7\right)=-\left(-7\right)$$

-7-ஐ அதிலிருந்தே கழித்தல் 0-ஐ தரும்.

$$x^{2}+4x=-\left(-7\right)$$

0–இலிருந்து -7–ஐக் கழிக்கவும்.

$$x^{2}+4x=7$$

2-ஐப் பெற, x உறுப்பின் ஈவான 4-ஐ 2-ஆல் வகுக்கவும். பிறகு 2-இன் வர்க்கத்தைச் சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் சேர்க்கவும். இந்தப் படி சமன்பாட்டின் இடது பக்கத்தைச் சரியான வர்க்கமாக்குகிறது.

$$x^{2}+4x+2^{2}=7+2^{2}$$

2-ஐ வர்க்கமாக்கவும்.

$$x^{2}+4x+4=7+4$$

4-க்கு 7-ஐக் கூட்டவும்.

$$x^{2}+4x+4=11$$

காரணி x^{2}+4x+4. பொதுவாக, x^{2}+bx+c ஒரு சரியான வர்க்கமாக இருக்கும் போது, அதை எப்போதும் \left(x+\frac{b}{2}\right)^{2} ஆகக் காரணிப்படுத்தலாம்.

$$\left(x+2\right)^{2}=11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களின் வர்க்க மூலத்தை எடுக்கவும்.

$$\sqrt{\left(x+2\right)^{2}}=\sqrt{11}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$x+2=\sqrt{11} x+2=-\sqrt{11}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=\sqrt{11}-2 x=-\sqrt{11}-2$$