{l}{4*(x+2y)-x=-y}{-3x=2y-4-x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left.\begin{array} { l } { 4 \cdot ( x + 2 y ) - x = - y } \\ { - 3 x = 2 y - 4 - x } \end{array} \right\}$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=-1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+8y-x=-y$$

4x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x+8y=-y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x+8y+y=0$$

8y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9y.

$$3x+9y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x-2y=-4-x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-3x-2y+x=-4$$

-3x மற்றும் x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2x.

$$-2x-2y=-4$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x+9y=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=-9y$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(-9\right)y$$

-9y-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-3y$$

பிற சமன்பாடு -2x-2y=-4-இல் x-க்கு -3y-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(-3\right)y-2y=-4$$

-3y-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$6y-2y=-4$$

-2y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4y=-4$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-1$$

x=-3y-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-3\left(-1\right)$$

-1-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+8y-x=-y$$

4x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x+8y=-y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x+8y+y=0$$

8y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9y.

$$3x+9y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x-2y=-4-x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-3x-2y+x=-4$$

-3x மற்றும் x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2x.

$$-2x-2y=-4$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&9\\-2&-2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&-\frac{9}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\\-\frac{-2}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}&\frac{3}{3\left(-2\right)-9\left(-2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{6}&-\frac{3}{4}\\\frac{1}{6}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\-4\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{4}\left(-4\right)\\\frac{1}{4}\left(-4\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=-1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x+8y-x=-y$$

4x மற்றும் -x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 3x.

$$3x+8y=-y$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$3x+8y+y=0$$

8y மற்றும் y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9y.

$$3x+9y=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x-2y=-4-x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$-3x-2y+x=-4$$

-3x மற்றும் x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -2x.

$$-2x-2y=-4$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x+9y=0,-2x-2y=-4$$

3x மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 3x-2\times 9y=0,3\left(-2\right)x+3\left(-2\right)y=3\left(-4\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-6x-18y=0,-6x-6y=-12$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -6x-18y=0-இலிருந்து -6x-6y=-12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x+6x-18y+6y=12$$

6x-க்கு -6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -6x மற்றும் 6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-18y+6y=12$$

6y-க்கு -18y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-12y=12$$

இரு பக்கங்களையும் -12-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-1$$

-2x-2y=-4-இல் y-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x-2\left(-1\right)=-4$$

-1-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-2x+2=-4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-2x=-6$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=-1$$