{c}{27/5+4/5*y=-4*x+3/5}{8*x=-8-3*y}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left.\begin{array} { c } { \frac { 27 } { 5 } + \frac { 4 } { 5 } \cdot y = \frac { - 4 \cdot x + 3 } { 5 } } \\ { 8 \cdot x = - 8 - 3 \cdot y } \end{array} \right\}$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=-8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$27+4y=-4x+3$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$27+4y+4x=3$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y+4x=3-27$$

3-இலிருந்து 27-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -24.

$$4y+4x=-24$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8x+3y=-8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4y+4x=-24$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 4x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y=-4x-24$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{4}\left(-4x-24\right)$$

-4x-24-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-x-6$$

பிற சமன்பாடு 3y+8x=-8-இல் y-க்கு -x-6-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(-x-6\right)+8x=-8$$

-x-6-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$-3x-18+8x=-8$$

8x-க்கு -3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x-18=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 18-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=10$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2$$

y=-x-6-இல் x-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=-2-6$$

-2-க்கு -6-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=-8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-8,x=2$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$27+4y=-4x+3$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$27+4y+4x=3$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y+4x=3-27$$

3-இலிருந்து 27-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -24.

$$4y+4x=-24$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8x+3y=-8$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&4\\3&8\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{8}{4\times 8-4\times 3}&-\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\\-\frac{3}{4\times 8-4\times 3}&\frac{4}{4\times 8-4\times 3}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\-\frac{3}{20}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-24\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-24\right)-\frac{1}{5}\left(-8\right)\\-\frac{3}{20}\left(-24\right)+\frac{1}{5}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-8\\2\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=-8,x=2$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் பெருக்கவும்.

$$27+4y=-4x+3$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4x-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$27+4y+4x=3$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4y+4x=3-27$$

3-இலிருந்து 27-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -24.

$$4y+4x=-24$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரண்டு பக்கங்களிலும் 3y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8x+3y=-8$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4y+4x=-24,3y+8x=-8$$

4y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4y+3\times 4x=3\left(-24\right),4\times 3y+4\times 8x=4\left(-8\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12y+12x=-72,12y+32x=-32$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12y+12x=-72-இலிருந்து 12y+32x=-32-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12y-12y+12x-32x=-72+32$$

-12y-க்கு 12y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12y மற்றும் -12y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$12x-32x=-72+32$$

-32x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-20x=-72+32$$

32-க்கு -72-ஐக் கூட்டவும்.

$$-20x=-40$$

இரு பக்கங்களையும் -20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2$$

3y+8x=-8-இல் x-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y+8\times 2=-8$$

2-ஐ 8 முறை பெருக்கவும்.

$$3y+16=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 16-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y=-24$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=-8,x=2$$