{l}{x+2y=3(1+y)+1}{8-y=2(1-y)+3x}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array}{l}{ x + 2 y = 3 ( 1 + y ) + 1 }\\{ 8 - y = 2 ( 1 - y ) + 3 x }\end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=1$$

$$y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 1+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+2y=3+3y+1$$

3 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 4.

$$x+2y=4+3y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+2y-3y=4$$

2y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -y.

$$x-y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 1-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8-y=2-2y+3x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$8+y=2+3x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8+y-3x=2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=2-8$$

2-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -6.

$$y-3x=-6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-y=4$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=y+4$$

பிற சமன்பாடு -3x+y=-6-இல் x-க்கு y+4-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(y+4\right)+y=-6$$

y+4-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$-3y-12+y=-6$$

y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y-12=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 12-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2y=6$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-3$$

x=y+4-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-3+4$$

-3-க்கு 4-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 1+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+2y=3+3y+1$$

3 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 4.

$$x+2y=4+3y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+2y-3y=4$$

2y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -y.

$$x-y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 1-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8-y=2-2y+3x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$8+y=2+3x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8+y-3x=2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=2-8$$

2-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -6.

$$y-3x=-6$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right) அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&-\frac{-1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\\-\frac{-3}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}&\frac{1}{1-\left(-\left(-3\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}&-\frac{1}{2}\\-\frac{3}{2}&-\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}4\\-6\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\\-\frac{3}{2}\times 4-\frac{1}{2}\left(-6\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=1,y=-3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ 1+y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+2y=3+3y+1$$

3 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 4.

$$x+2y=4+3y$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x+2y-3y=4$$

2y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -y.

$$x-y=4$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ 1-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$8-y=2-2y+3x$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2y-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$8-y+2y=2+3x$$

-y மற்றும் 2y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$8+y=2+3x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$8+y-3x=2$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 8-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=2-8$$

2-இலிருந்து 8-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -6.

$$y-3x=-6$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-y=4,-3x+y=-6$$

x மற்றும் -3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3x-3\left(-1\right)y=-3\times 4,-3x+y=-6$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-3x+3y=-12,-3x+y=-6$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -3x+3y=-12-இலிருந்து -3x+y=-6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3x+3x+3y-y=-12+6$$

3x-க்கு -3x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -3x மற்றும் 3x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3y-y=-12+6$$

-y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=-12+6$$

6-க்கு -12-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=-6$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-3$$

-3x+y=-6-இல் y-க்கு -3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3x-3=-6$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3x=-3$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=1$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=1,y=-3$$