{l}{m+n=-3}{2n-3m=1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array}{l}{ m + n = - 3 }\\{ 2 n - 3 m = 1 }\end{array} \right.$$

m, n-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$m = -\frac{7}{5} = -1\frac{2}{5} = -1.4$$

$$n = -\frac{8}{5} = -1\frac{3}{5} = -1.6$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் m-ஐத் தனிப்படுத்தி m-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$m+n=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் n-ஐக் கழிக்கவும்.

$$m=-n-3$$

பிற சமன்பாடு -3m+2n=1-இல் m-க்கு -n-3-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-3\left(-n-3\right)+2n=1$$

-n-3-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$3n+9+2n=1$$

2n-க்கு 3n-ஐக் கூட்டவும்.

$$5n+9=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 9-ஐக் கழிக்கவும்.

$$5n=-8$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=-\frac{8}{5}$$

m=-n-3-இல் n-க்கு -\frac{8}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$m=-\left(-\frac{8}{5}\right)-3$$

-\frac{8}{5}-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$m=\frac{8}{5}-3$$

\frac{8}{5}-க்கு -3-ஐக் கூட்டவும்.

$$m=-\frac{7}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\-3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\right)}&-\frac{1}{2-\left(-3\right)}\\-\frac{-3}{2-\left(-3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}&-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-3\\1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{5}\left(-3\right)-\frac{1}{5}\\\frac{3}{5}\left(-3\right)+\frac{1}{5}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}m\\n\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{5}\\-\frac{8}{5}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் m மற்றும் n-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$m+n=-3,-3m+2n=1$$

m மற்றும் -3m-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-3m-3n=-3\left(-3\right),-3m+2n=1$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-3m-3n=9,-3m+2n=1$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -3m-3n=9-இலிருந்து -3m+2n=1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3m+3m-3n-2n=9-1$$

3m-க்கு -3m-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -3m மற்றும் 3m ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-3n-2n=9-1$$

-2n-க்கு -3n-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5n=9-1$$

-1-க்கு 9-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5n=8$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$n=-\frac{8}{5}$$

-3m+2n=1-இல் n-க்கு -\frac{8}{5}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக m-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-3m+2\left(-\frac{8}{5}\right)=1$$

-\frac{8}{5}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-3m-\frac{16}{5}=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{16}{5}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-3m=\frac{21}{5}$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$m=-\frac{7}{5}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$m=-\frac{7}{5},n=-\frac{8}{5}$$