{l}{60x+60y=1170-300}{70x+140y=2035}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array}{l}{ 60 x + 60 y = 1170 - 300 }\\{ 70 x + 140 y = 2035 }\end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-\frac{1}{14}\approx -0.071428571$$

$$y = \frac{102}{7} = 14\frac{4}{7} \approx 14.571428571$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$60x+60y=870$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 60y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$60x=-60y+870$$

இரு பக்கங்களையும் 60-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{60}\left(-60y+870\right)$$

-60y+870-ஐ \frac{1}{60} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-y+\frac{29}{2}$$

பிற சமன்பாடு 70x+140y=2035-இல் x-க்கு -y+\frac{29}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$70\left(-y+\frac{29}{2}\right)+140y=2035$$

-y+\frac{29}{2}-ஐ 70 முறை பெருக்கவும்.

$$-70y+1015+140y=2035$$

140y-க்கு -70y-ஐக் கூட்டவும்.

$$70y+1015=2035$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 1015-ஐக் கழிக்கவும்.

$$70y=1020$$

இரு பக்கங்களையும் 70-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{102}{7}$$

x=-y+\frac{29}{2}-இல் y-க்கு \frac{102}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{102}{7}+\frac{29}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{102}{7} உடன் \frac{29}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{14}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}60&60\\70&140\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{140}{60\times 140-60\times 70}&-\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\\-\frac{70}{60\times 140-60\times 70}&\frac{60}{60\times 140-60\times 70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}&-\frac{1}{70}\\-\frac{1}{60}&\frac{1}{70}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}870\\2035\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{30}\times 870-\frac{1}{70}\times 2035\\-\frac{1}{60}\times 870+\frac{1}{70}\times 2035\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{14}\\\frac{102}{7}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$60x+60y=870,70x+140y=2035$$

60x மற்றும் 70x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 70-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 60-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$70\times 60x+70\times 60y=70\times 870,60\times 70x+60\times 140y=60\times 2035$$

எளிமையாக்கவும்.

$$4200x+4200y=60900,4200x+8400y=122100$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 4200x+4200y=60900-இலிருந்து 4200x+8400y=122100-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4200x-4200x+4200y-8400y=60900-122100$$

-4200x-க்கு 4200x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 4200x மற்றும் -4200x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$4200y-8400y=60900-122100$$

-8400y-க்கு 4200y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4200y=60900-122100$$

-122100-க்கு 60900-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4200y=-61200$$

இரு பக்கங்களையும் -4200-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{102}{7}$$

70x+140y=2035-இல் y-க்கு \frac{102}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$70x+140\times \frac{102}{7}=2035$$

\frac{102}{7}-ஐ 140 முறை பெருக்கவும்.

$$70x+2040=2035$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2040-ஐக் கழிக்கவும்.

$$70x=-5$$

இரு பக்கங்களையும் 70-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{14}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-\frac{1}{14},y=\frac{102}{7}$$