{l}{4a+2b=34}{16a+3b=91}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array}{l}{ 4 a + 2 b = 34 }\\{ 16 a + 3 b = 91 }\end{array} \right.$$

a, b-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$a=4$$

$$b=9$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் a-ஐத் தனிப்படுத்தி a-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4a+2b=34$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2b-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4a=-2b+34$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=\frac{1}{4}\left(-2b+34\right)$$

-2b+34-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}$$

பிற சமன்பாடு 16a+3b=91-இல் a-க்கு \frac{-b+17}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$16\left(-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}\right)+3b=91$$

\frac{-b+17}{2}-ஐ 16 முறை பெருக்கவும்.

$$-8b+136+3b=91$$

3b-க்கு -8b-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5b+136=91$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 136-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-5b=-45$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=9$$

a=-\frac{1}{2}b+\frac{17}{2}-இல் b-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$a=-\frac{1}{2}\times 9+\frac{17}{2}$$

9-ஐ -\frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$a=\frac{-9+17}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{9}{2} உடன் \frac{17}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$a=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=4,b=9$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&2\\16&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4\times 3-2\times 16}&-\frac{2}{4\times 3-2\times 16}\\-\frac{16}{4\times 3-2\times 16}&\frac{4}{4\times 3-2\times 16}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}&\frac{1}{10}\\\frac{4}{5}&-\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}34\\91\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{20}\times 34+\frac{1}{10}\times 91\\\frac{4}{5}\times 34-\frac{1}{5}\times 91\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}a\\b\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}4\\9\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் a மற்றும் b-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$a=4,b=9$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4a+2b=34,16a+3b=91$$

4a மற்றும் 16a-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 16-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$16\times 4a+16\times 2b=16\times 34,4\times 16a+4\times 3b=4\times 91$$

எளிமையாக்கவும்.

$$64a+32b=544,64a+12b=364$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 64a+32b=544-இலிருந்து 64a+12b=364-ஐக் கழிக்கவும்.

$$64a-64a+32b-12b=544-364$$

-64a-க்கு 64a-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 64a மற்றும் -64a ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$32b-12b=544-364$$

-12b-க்கு 32b-ஐக் கூட்டவும்.

$$20b=544-364$$

-364-க்கு 544-ஐக் கூட்டவும்.

$$20b=180$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$b=9$$

16a+3b=91-இல் b-க்கு 9-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக a-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$16a+3\times 9=91$$

9-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$16a+27=91$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 27-ஐக் கழிக்கவும்.

$$16a=64$$

இரு பக்கங்களையும் 16-ஆல் வகுக்கவும்.

$$a=4$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$a=4,b=9$$