{l}{x+1/y+1=1/3}{x-1/y-1=1/4}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array}{l}{ \frac { x + 1 } { y + 1 } = \frac { 1 } { 3 } }\\{ \frac { x - 1 } { y - 1 } = \frac { 1 } { 4 } }\end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=5$$

$$y=17$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது -1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+1,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y+1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=y+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3-y=1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-y=1-3$$

1-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -2.

$$3x-y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y-1,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 4\left(y-1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4-ஐ x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-4=y-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-4-y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x-y=-1+4$$

-1 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$4x-y=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-y=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=y-2$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(y-2\right)$$

y-2-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}$$

பிற சமன்பாடு 4x-y=3-இல் x-க்கு \frac{-2+y}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$4\left(\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}\right)-y=3$$

\frac{-2+y}{3}-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{4}{3}y-\frac{8}{3}-y=3$$

-y-க்கு \frac{4y}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{3}y-\frac{8}{3}=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{8}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{3}y=\frac{17}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=17$$

x=\frac{1}{3}y-\frac{2}{3}-இல் y-க்கு 17-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{3}\times 17-\frac{2}{3}$$

17-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{17-2}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{17}{3} உடன் -\frac{2}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=17$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது -1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+1,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y+1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=y+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3-y=1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-y=1-3$$

1-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -2.

$$3x-y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y-1,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 4\left(y-1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4-ஐ x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-4=y-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-4-y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x-y=-1+4$$

-1 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$4x-y=3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-1\\4&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&-\frac{-1}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\\-\frac{4}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}&\frac{3}{3\left(-1\right)-\left(-4\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-1&1\\-4&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\left(-2\right)+3\\-4\left(-2\right)+3\times 3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}5\\17\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=5,y=17$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது -1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y+1,3-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 3\left(y+1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3\left(x+1\right)=y+1$$

3-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+3=y+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x+3-y=1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-y=1-3$$

1-இலிருந்து 3-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -2.

$$3x-y=-2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். பூஜ்ஜியத்தால் பிரிப்பது வரையறுக்கப்படவில்லை என்பதால் மாறி y ஆனது 1-க்குச் சமமாக இருக்க முடியாது. சமன்பாட்டின் இரண்டு பக்கங்களிலும் y-1,4-இன் சிறிய பொது பெருக்கியான 4\left(y-1\right)-ஆல் பெருக்கவும்.

$$4\left(x-1\right)=y-1$$

4-ஐ x-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-4=y-1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x-4-y=-1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 4-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$4x-y=-1+4$$

-1 மற்றும் 4-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$4x-y=3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-y=-2,4x-y=3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3x-y=-2-இலிருந்து 4x-y=3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x-4x-y+y=-2-3$$

y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -y மற்றும் y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$3x-4x=-2-3$$

-4x-க்கு 3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x=-2-3$$

-3-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-x=-5$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=5$$

4x-y=3-இல் x-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$4\times 5-y=3$$

5-ஐ 4 முறை பெருக்கவும்.

$$20-y=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 20-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-y=-17$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=17$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=5,y=17$$