{r}{x-1=y+1}{2(y-1)=x+1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { x - 1 = y + 1 } \\ { 2 ( y - 1 ) = x + 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=7$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-1-y=1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-y=1+1$$

1 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$x-y=2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y-2=x+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-2-x=1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2y-x=1+2$$

1 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$2y-x=3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x-y=2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=y+2$$

பிற சமன்பாடு -x+2y=3-இல் x-க்கு y+2-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-\left(y+2\right)+2y=3$$

y+2-ஐ -1 முறை பெருக்கவும்.

$$-y-2+2y=3$$

2y-க்கு -y-ஐக் கூட்டவும்.

$$y-2=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=5$$

x=y+2-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=5+2$$

5-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-1-y=1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-y=1+1$$

1 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$x-y=2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y-2=x+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-2-x=1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2y-x=1+2$$

1 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$2y-x=3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-1\\-1&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\\-\frac{-1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}&\frac{1}{2-\left(-\left(-1\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2&1\\1&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\times 2+3\\2+3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=7,y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x-1-y=1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 1-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$x-y=1+1$$

1 மற்றும் 1-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 2.

$$x-y=2$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ y-1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2y-2=x+1$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-2-x=1$$

இரண்டு பக்கங்களிலும் 2-ஐச் சேர்க்கவும்.

$$2y-x=1+2$$

1 மற்றும் 2-ஐக் கூட்டவும், தீர்வு 3.

$$2y-x=3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x-y=2,-x+2y=3$$

x மற்றும் -x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-x-\left(-y\right)=-2,-x+2y=3$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-x+y=-2,-x+2y=3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -x+y=-2-இலிருந்து -x+2y=3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x+x+y-2y=-2-3$$

x-க்கு -x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -x மற்றும் x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$y-2y=-2-3$$

-2y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=-2-3$$

-3-க்கு -2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=-5$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

-x+2y=3-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-x+2\times 5=3$$

5-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$-x+10=3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 10-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-x=-7$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=5$$