{r}{x+y=270}{0.08x+0.13y=32.-1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { x + y = 270 } \\ { 0.08 x + 0.13 y = 32 . - 1 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=62$$

$$y=208$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$x+y=270$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$x=-y+270$$

பிற சமன்பாடு 0.08x+0.13y=32-இல் x-க்கு -y+270-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$0.08\left(-y+270\right)+0.13y=32$$

-y+270-ஐ 0.08 முறை பெருக்கவும்.

$$-0.08y+21.6+0.13y=32$$

\frac{13y}{100}-க்கு -\frac{2y}{25}-ஐக் கூட்டவும்.

$$0.05y+21.6=32$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 21.6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.05y=10.4$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=208$$

x=-y+270-இல் y-க்கு 208-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-208+270$$

-208-க்கு 270-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=62$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=62,y=208$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&1\\0.08&0.13\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{0.13}{0.13-0.08}&-\frac{1}{0.13-0.08}\\-\frac{0.08}{0.13-0.08}&\frac{1}{0.13-0.08}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6&-20\\-1.6&20\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}270\\32\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2.6\times 270-20\times 32\\-1.6\times 270+20\times 32\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}62\\208\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=62,y=208$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$x+y=270,0.08x+0.13y=32$$

x மற்றும் \frac{2x}{25}-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 0.08-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$0.08x+0.08y=0.08\times 270,0.08x+0.13y=32$$

எளிமையாக்கவும்.

$$0.08x+0.08y=21.6,0.08x+0.13y=32$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 0.08x+0.08y=21.6-இலிருந்து 0.08x+0.13y=32-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.08x-0.08x+0.08y-0.13y=21.6-32$$

-\frac{2x}{25}-க்கு \frac{2x}{25}-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் \frac{2x}{25} மற்றும் -\frac{2x}{25} ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$0.08y-0.13y=21.6-32$$

-\frac{13y}{100}-க்கு \frac{2y}{25}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.05y=21.6-32$$

-32-க்கு 21.6-ஐக் கூட்டவும்.

$$-0.05y=-10.4$$

இரு பக்கங்களையும் -20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$y=208$$

0.08x+0.13y=32-இல் y-க்கு 208-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$0.08x+0.13\times 208=32$$

208-ஐ 0.13 முறை பெருக்கவும்.

$$0.08x+27.04=32$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 27.04-ஐக் கழிக்கவும்.

$$0.08x=4.96$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 0.08-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$x=62$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=62,y=208$$