{r}{4x-y=1}{3x+y=9}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { 4 x - y = 1 } \\ { 3 x + y = 9 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x = \frac{10}{7} = 1\frac{3}{7} \approx 1.428571429$$

$$y = \frac{33}{7} = 4\frac{5}{7} \approx 4.714285714$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$4x-y=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் y-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x=y+1$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}\left(y+1\right)$$

y+1-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}$$

பிற சமன்பாடு 3x+y=9-இல் x-க்கு \frac{1+y}{4}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}\right)+y=9$$

\frac{1+y}{4}-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{3}{4}y+\frac{3}{4}+y=9$$

y-க்கு \frac{3y}{4}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{7}{4}y+\frac{3}{4}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{3}{4}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{7}{4}y=\frac{33}{4}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{7}{4}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=\frac{33}{7}$$

x=\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}-இல் y-க்கு \frac{33}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{1}{4}\times \frac{33}{7}+\frac{1}{4}$$

தொகுதி எண்ணை தொகுதி மதிப்பு முறையும் பகுதி எண்ணை பகுதி மதிப்பு முறையும் பெருக்குவதன் மூலம், \frac{33}{7}-ஐ \frac{1}{4} முறை பெருக்கவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{33}{28}+\frac{1}{4}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{33}{28} உடன் \frac{1}{4}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=\frac{10}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}4&-1\\3&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{4-\left(-3\right)}&-\frac{-1}{4-\left(-3\right)}\\-\frac{3}{4-\left(-3\right)}&\frac{4}{4-\left(-3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}&\frac{1}{7}\\-\frac{3}{7}&\frac{4}{7}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\9\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{7}+\frac{1}{7}\times 9\\-\frac{3}{7}+\frac{4}{7}\times 9\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{10}{7}\\\frac{33}{7}\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$4x-y=1,3x+y=9$$

4x மற்றும் 3x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 4-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3\times 4x+3\left(-1\right)y=3,4\times 3x+4y=4\times 9$$

எளிமையாக்கவும்.

$$12x-3y=3,12x+4y=36$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 12x-3y=3-இலிருந்து 12x+4y=36-ஐக் கழிக்கவும்.

$$12x-12x-3y-4y=3-36$$

-12x-க்கு 12x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 12x மற்றும் -12x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-3y-4y=3-36$$

-4y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=3-36$$

-36-க்கு 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$-7y=-33$$

இரு பக்கங்களையும் -7-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{33}{7}$$

3x+y=9-இல் y-க்கு \frac{33}{7}-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3x+\frac{33}{7}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{33}{7}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3x=\frac{30}{7}$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{10}{7}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=\frac{10}{7},y=\frac{33}{7}$$