{r}{3x-3y=27}{-2x+y=7}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { 3 x - 3 y = 27 } \\ { - 2 x + y = 7 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-16$$

$$y=-25$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$3x-3y=27,-2x+y=7$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$3x-3y=27$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3x=3y+27$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{3}\left(3y+27\right)$$

27+3y-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=y+9$$

பிற சமன்பாடு -2x+y=7-இல் x-க்கு y+9-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$-2\left(y+9\right)+y=7$$

y+9-ஐ -2 முறை பெருக்கவும்.

$$-2y-18+y=7$$

y-க்கு -2y-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y-18=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 18-ஐக் கூட்டவும்.

$$-y=25$$

இரு பக்கங்களையும் -1-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-25$$

x=y+9-இல் y-க்கு -25-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-25+9$$

-25-க்கு 9-ஐக் கூட்டவும்.

$$x=-16$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-16,y=-25$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x-3y=27,-2x+y=7$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}3&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}27\\7\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}3&-3\\-2&1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}3&-3\\-2&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\7\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}3&-3\\-2&1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}27\\7\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{3-\left(-3\left(-2\right)\right)}&-\frac{-3}{3-\left(-3\left(-2\right)\right)}\\-\frac{-2}{3-\left(-3\left(-2\right)\right)}&\frac{3}{3-\left(-3\left(-2\right)\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}&-1\\-\frac{2}{3}&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}27\\7\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{3}\times 27-7\\-\frac{2}{3}\times 27-7\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-16\\-25\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=-16,y=-25$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$3x-3y=27,-2x+y=7$$

3x மற்றும் -2x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் -2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$-2\times 3x-2\left(-3\right)y=-2\times 27,3\left(-2\right)x+3y=3\times 7$$

எளிமையாக்கவும்.

$$-6x+6y=-54,-6x+3y=21$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் -6x+6y=-54-இலிருந்து -6x+3y=21-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-6x+6x+6y-3y=-54-21$$

6x-க்கு -6x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -6x மற்றும் 6x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$6y-3y=-54-21$$

-3y-க்கு 6y-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=-54-21$$

-21-க்கு -54-ஐக் கூட்டவும்.

$$3y=-75$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=-25$$

-2x+y=7-இல் y-க்கு -25-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$-2x-25=7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 25-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=32$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-16$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=-16,y=-25$$