{r}{2(x+2y)+3(3x-y)=38}{4(3x+2y)-3(x+5y)=-8}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { 2 ( x + 2 y ) + 3 ( 3 x - y ) = 38 } \\ { 4 ( 3 x + 2 y ) - 3 ( x + 5 y ) = - 8 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

2x மற்றும் 9x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 11x.

$$11x+4y-3y=38$$

4y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$11x+y=38$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ 3x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3-ஐ x+5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

12x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9x.

$$9x+8y-15y=-8$$

8y மற்றும் -15y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7y.

$$9x-7y=-8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$11x+y=38$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் y-ஐக் கழிக்கவும்.

$$11x=-y+38$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{11}\left(-y+38\right)$$

-y+38-ஐ \frac{1}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}$$

பிற சமன்பாடு 9x-7y=-8-இல் x-க்கு \frac{-y+38}{11}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$9\left(-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}\right)-7y=-8$$

\frac{-y+38}{11}-ஐ 9 முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{9}{11}y+\frac{342}{11}-7y=-8$$

-7y-க்கு -\frac{9y}{11}-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{86}{11}y+\frac{342}{11}=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{342}{11}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-\frac{86}{11}y=-\frac{430}{11}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் -\frac{86}{11}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=5$$

x=-\frac{1}{11}y+\frac{38}{11}-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{1}{11}\times 5+\frac{38}{11}$$

5-ஐ -\frac{1}{11} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-5+38}{11}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{5}{11} உடன் \frac{38}{11}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

2x மற்றும் 9x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 11x.

$$11x+4y-3y=38$$

4y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$11x+y=38$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ 3x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3-ஐ x+5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

12x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9x.

$$9x+8y-15y=-8$$

8y மற்றும் -15y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7y.

$$9x-7y=-8$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}11&1\\9&-7\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{7}{11\left(-7\right)-9}&-\frac{1}{11\left(-7\right)-9}\\-\frac{9}{11\left(-7\right)-9}&\frac{11}{11\left(-7\right)-9}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}&\frac{1}{86}\\\frac{9}{86}&-\frac{11}{86}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}38\\-8\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{7}{86}\times 38+\frac{1}{86}\left(-8\right)\\\frac{9}{86}\times 38-\frac{11}{86}\left(-8\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=3,y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 2-ஐ x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+4y+3\left(3x-y\right)=38$$

3-ஐ 3x-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+4y+9x-3y=38$$

2x மற்றும் 9x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 11x.

$$11x+4y-3y=38$$

4y மற்றும் -3y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு y.

$$11x+y=38$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 4-ஐ 3x+2y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$12x+8y-3\left(x+5y\right)=-8$$

-3-ஐ x+5y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$12x+8y-3x-15y=-8$$

12x மற்றும் -3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 9x.

$$9x+8y-15y=-8$$

8y மற்றும் -15y-ஐ இணைத்தால், தீர்வு -7y.

$$9x-7y=-8$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$11x+y=38,9x-7y=-8$$

11x மற்றும் 9x-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 9-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 11-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$9\times 11x+9y=9\times 38,11\times 9x+11\left(-7\right)y=11\left(-8\right)$$

எளிமையாக்கவும்.

$$99x+9y=342,99x-77y=-88$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 99x+9y=342-இலிருந்து 99x-77y=-88-ஐக் கழிக்கவும்.

$$99x-99x+9y+77y=342+88$$

-99x-க்கு 99x-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 99x மற்றும் -99x ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$9y+77y=342+88$$

77y-க்கு 9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$86y=342+88$$

88-க்கு 342-ஐக் கூட்டவும்.

$$86y=430$$

இரு பக்கங்களையும் 86-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

9x-7y=-8-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$9x-7\times 5=-8$$

5-ஐ -7 முறை பெருக்கவும்.

$$9x-35=-8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 35-ஐக் கூட்டவும்.

$$9x=27$$

இரு பக்கங்களையும் 9-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=3,y=5$$