{r}{x+1/2+y-1/3=8}{x-1/3+y+1/2=9}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { x + 1 } { 2 } + \frac { y - 1 } { 3 } = 8 } \\ { \frac { x - 1 } { 3 } + \frac { y + 1 } { 2 } = 9 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=7$$

$$y=13$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

x+1-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

y-1-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1}{3} உடன் \frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{6}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{y}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x=-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=2\left(-\frac{1}{3}y+\frac{47}{6}\right)$$

-\frac{y}{3}+\frac{47}{6}-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}$$

பிற சமன்பாடு \frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9-இல் x-க்கு \frac{-2y+47}{3}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

-1-க்கு \frac{47}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{3}\left(-\frac{2}{3}y+\frac{44}{3}\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

\frac{-2y+44}{3}-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

y+1-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$-\frac{2}{9}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

\frac{y}{2}-க்கு -\frac{2y}{9}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{5}{18}y+\frac{44}{9}+\frac{1}{2}=9$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1}{2} உடன் \frac{44}{9}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$\frac{5}{18}y+\frac{97}{18}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{97}{18}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{5}{18}y=\frac{65}{18}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் \frac{5}{18}-ஆல் வகுக்கவும், இது பின்னத்தின் தலைகீழ் மதிப்பால் இரு பக்கங்களையும் பெருக்குவதற்குச் சமம்.

$$y=13$$

x=-\frac{2}{3}y+\frac{47}{3}-இல் y-க்கு 13-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=-\frac{2}{3}\times 13+\frac{47}{3}$$

13-ஐ -\frac{2}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{-26+47}{3}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{26}{3} உடன் \frac{47}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=7$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=7,y=13$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8,\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

முதல் சமன்பாட்டைத் தரநிலையான வடிவத்தில் இடுவதற்கு அதை எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{1}{2}\left(x+1\right)+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

x+1-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\left(y-1\right)=8$$

y-1-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}y-\frac{1}{3}=8$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், -\frac{1}{3} உடன் \frac{1}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}=8$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{6}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y=\frac{47}{6}$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைத் தரநிலையான வடிவத்தில் இடுவதற்கு அதை எளிமையாக்கவும்.

$$\frac{1}{3}\left(x-1\right)+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

x-1-ஐ \frac{1}{3} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\left(y+1\right)=9$$

y+1-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$\frac{1}{3}x-\frac{1}{3}+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}=9$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{1}{2} உடன் -\frac{1}{3}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{6}=9$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{6}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$\frac{1}{3}x+\frac{1}{2}y=\frac{53}{6}$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}&\frac{1}{3}\\\frac{1}{3}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\\-\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}&\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}\times \frac{1}{2}-\frac{1}{3}\times \frac{1}{3}}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}&-\frac{12}{5}\\-\frac{12}{5}&\frac{18}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}\frac{47}{6}\\\frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{18}{5}\times \frac{47}{6}-\frac{12}{5}\times \frac{53}{6}\\-\frac{12}{5}\times \frac{47}{6}+\frac{18}{5}\times \frac{53}{6}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}7\\13\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=7,y=13$$