{r}{2(x+1)/3-y=-3}{3(x+5-y)+3x=12}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { r } { \frac { 2 ( x + 1 ) } { 3 } - y = - 3 } \\ { 3 ( x + 5 - y ) + 3 x = 12 } \end{array} \right.$$

x, y-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=2$$

$$y=5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2-3y=-9$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=-9-2$$

-9-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -11.

$$2x-3y=-11$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+5-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+15-3y+3x=12$$

3x மற்றும் 3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 6x.

$$6x+15-3y=12$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-3y=12-15$$

12-இலிருந்து 15-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -3.

$$6x-3y=-3$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் x-ஐத் தனிப்படுத்தி x-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$2x-3y=-11$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3y-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=3y-11$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=\frac{1}{2}\left(3y-11\right)$$

3y-11-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}$$

பிற சமன்பாடு 6x-3y=-3-இல் x-க்கு \frac{3y-11}{2}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$6\left(\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}\right)-3y=-3$$

\frac{3y-11}{2}-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$9y-33-3y=-3$$

-3y-க்கு 9y-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y-33=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 33-ஐக் கூட்டவும்.

$$6y=30$$

இரு பக்கங்களையும் 6-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

x=\frac{3}{2}y-\frac{11}{2}-இல் y-க்கு 5-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக x-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$x=\frac{3}{2}\times 5-\frac{11}{2}$$

5-ஐ \frac{3}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$x=\frac{15-11}{2}$$

பொதுவான பகுதி எண்ணைக் கண்டுபிடித்து, தொகுதி எண்களைக் கூட்டுவதன் மூலம், \frac{15}{2} உடன் -\frac{11}{2}-ஐக் கூட்டவும். பிறகு சாத்தியம் என்றால், பின்னத்தை மிகக்குறைந்த உறுப்புகளுக்குக் குறைக்கவும்.

$$x=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=5$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2-3y=-9$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=-9-2$$

-9-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -11.

$$2x-3y=-11$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+5-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+15-3y+3x=12$$

3x மற்றும் 3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 6x.

$$6x+15-3y=12$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-3y=12-15$$

12-இலிருந்து 15-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -3.

$$6x-3y=-3$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}2&-3\\6&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&-\frac{-3}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\\-\frac{6}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}&\frac{2}{2\left(-3\right)-\left(-3\times 6\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}&\frac{1}{4}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{6}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-11\\-3\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{4}\left(-11\right)+\frac{1}{4}\left(-3\right)\\-\frac{1}{2}\left(-11\right)+\frac{1}{6}\left(-3\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}x\\y\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\5\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் x மற்றும் y-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$x=2,y=5$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$2\left(x+1\right)-3y=-9$$

2-ஐ x+1-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$2x+2-3y=-9$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-3y=-9-2$$

-9-இலிருந்து 2-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -11.

$$2x-3y=-11$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 3-ஐ x+5-y-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$3x+15-3y+3x=12$$

3x மற்றும் 3x-ஐ இணைத்தால், தீர்வு 6x.

$$6x+15-3y=12$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 15-ஐக் கழிக்கவும்.

$$6x-3y=12-15$$

12-இலிருந்து 15-ஐக் கழிக்கவும், தீர்வு -3.

$$6x-3y=-3$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$2x-3y=-11,6x-3y=-3$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2x-3y=-11-இலிருந்து 6x-3y=-3-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2x-6x-3y+3y=-11+3$$

3y-க்கு -3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் -3y மற்றும் 3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$2x-6x=-11+3$$

-6x-க்கு 2x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4x=-11+3$$

3-க்கு -11-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4x=-8$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=2$$

6x-3y=-3-இல் x-க்கு 2-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$6\times 2-3y=-3$$

2-ஐ 6 முறை பெருக்கவும்.

$$12-3y=-3$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$-3y=-15$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=5$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$x=2,y=5$$