{l}{y=5x-23}{y=3x-1}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { y = 5 x - 23 } \\ { y = 3 x - 1 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=11$$

$$y=32$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-5x=-23$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=-1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y-5x=-23,y-3x=-1$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$y-5x=-23$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=5x-23$$

பிற சமன்பாடு y-3x=-1-இல் y-க்கு 5x-23-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$5x-23-3x=-1$$

-3x-க்கு 5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x-23=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 23-ஐக் கூட்டவும்.

$$2x=22$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=11$$

y=5x-23-இல் x-க்கு 11-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=5\times 11-23$$

11-ஐ 5 முறை பெருக்கவும்.

$$y=55-23$$

55-க்கு -23-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=32$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=32,x=11$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-5x=-23$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=-1$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y-5x=-23,y-3x=-1$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-5\\1&-3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{-3-\left(-5\right)}&-\frac{-5}{-3-\left(-5\right)}\\-\frac{1}{-3-\left(-5\right)}&\frac{1}{-3-\left(-5\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}&\frac{5}{2}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{2}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-23\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{3}{2}\left(-23\right)+\frac{5}{2}\left(-1\right)\\-\frac{1}{2}\left(-23\right)+\frac{1}{2}\left(-1\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}32\\11\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=32,x=11$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 5x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-5x=-23$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=-1$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y-5x=-23,y-3x=-1$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் y-5x=-23-இலிருந்து y-3x=-1-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-y-5x+3x=-23+1$$

-y-க்கு y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் y மற்றும் -y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-5x+3x=-23+1$$

3x-க்கு -5x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=-23+1$$

1-க்கு -23-ஐக் கூட்டவும்.

$$-2x=-22$$

இரு பக்கங்களையும் -2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=11$$

y-3x=-1-இல் x-க்கு 11-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y-3\times 11=-1$$

11-ஐ -3 முறை பெருக்கவும்.

$$y-33=-1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 33-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=32$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=32,x=11$$