{l}{y=3x-7}{2x+3y=12}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { y = 3 x - 7 } \\ { 2 x + 3 y = 12 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=3$$

$$y=2$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=-7$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$y-3x=-7$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3x-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=3x-7$$

பிற சமன்பாடு 3y+2x=12-இல் y-க்கு 3x-7-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\left(3x-7\right)+2x=12$$

3x-7-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$9x-21+2x=12$$

2x-க்கு 9x-ஐக் கூட்டவும்.

$$11x-21=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 21-ஐக் கூட்டவும்.

$$11x=33$$

இரு பக்கங்களையும் 11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

y=3x-7-இல் x-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=3\times 3-7$$

3-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$y=9-7$$

9-க்கு -7-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=2,x=3$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=-7$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-3\\3&2\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{2-\left(-3\times 3\right)}&-\frac{-3}{2-\left(-3\times 3\right)}\\-\frac{3}{2-\left(-3\times 3\right)}&\frac{1}{2-\left(-3\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}&\frac{3}{11}\\-\frac{3}{11}&\frac{1}{11}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}-7\\12\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{2}{11}\left(-7\right)+\frac{3}{11}\times 12\\-\frac{3}{11}\left(-7\right)+\frac{1}{11}\times 12\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2\\3\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=2,x=3$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 3x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-3x=-7$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y-3x=-7,3y+2x=12$$

y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3y+3\left(-3\right)x=3\left(-7\right),3y+2x=12$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3y-9x=-21,3y+2x=12$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3y-9x=-21-இலிருந்து 3y+2x=12-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-3y-9x-2x=-21-12$$

-3y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3y மற்றும் -3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-9x-2x=-21-12$$

-2x-க்கு -9x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-11x=-21-12$$

-12-க்கு -21-ஐக் கூட்டவும்.

$$-11x=-33$$

இரு பக்கங்களையும் -11-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=3$$

3y+2x=12-இல் x-க்கு 3-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y+2\times 3=12$$

3-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$3y+6=12$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 6-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y=6$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=2$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=2,x=3$$