{l}{y=2x}{y=x/3}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { y = 2 x } \\ { y = \frac { x } { 3 } } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=0$$

$$y=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-2x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{x}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3y-x=0$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$y-2x=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 2x-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=2x$$

பிற சமன்பாடு 3y-x=0-இல் y-க்கு 2x-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$3\times 2x-x=0$$

2x-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$6x-x=0$$

-x-க்கு 6x-ஐக் கூட்டவும்.

$$5x=0$$

இரு பக்கங்களையும் 5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

y=2x-இல் x-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=0,x=0$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-2x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{x}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3y-x=0$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-2\\3&-1\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}&-\frac{-2}{-1-\left(-2\times 3\right)}\\-\frac{3}{-1-\left(-2\times 3\right)}&\frac{1}{-1-\left(-2\times 3\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{5}&\frac{2}{5}\\-\frac{3}{5}&\frac{1}{5}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\0\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=0,x=0$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-2x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{x}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{x}{3}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$3y-x=0$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y-2x=0,3y-x=0$$

y மற்றும் 3y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 3-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$3y+3\left(-2\right)x=0,3y-x=0$$

எளிமையாக்கவும்.

$$3y-6x=0,3y-x=0$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 3y-6x=0-இலிருந்து 3y-x=0-ஐக் கழிக்கவும்.

$$3y-3y-6x+x=0$$

-3y-க்கு 3y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 3y மற்றும் -3y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-6x+x=0$$

x-க்கு -6x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-5x=0$$

இரு பக்கங்களையும் -5-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=0$$

3y-x=0-இல் x-க்கு 0-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$3y=0$$

இரு பக்கங்களையும் 3-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=0$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=0,x=0$$