{l}{y=x/20}{y=(80+x)*1/30}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { x } { 20 } } \\ { y = ( 80 + x ) \times \frac { 1 } { 30 } } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=160$$

$$y=8$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{x}{20}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20y-x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 80+x-ஐ \frac{1}{30}-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{30}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$20y-x=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் x-ஐக் கூட்டவும்.

$$20y=x$$

இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{20}x$$

பிற சமன்பாடு y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}-இல் y-க்கு \frac{x}{20}-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$\frac{1}{20}x-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

-\frac{x}{30}-க்கு \frac{x}{20}-ஐக் கூட்டவும்.

$$\frac{1}{60}x=\frac{8}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் 60-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=160$$

y=\frac{1}{20}x-இல் x-க்கு 160-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{1}{20}\times 160$$

160-ஐ \frac{1}{20} முறை பெருக்கவும்.

$$y=8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=8,x=160$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{x}{20}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20y-x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 80+x-ஐ \frac{1}{30}-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{30}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}20&-1\\1&-\frac{1}{30}\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{\frac{1}{30}}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&-\frac{-1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\\-\frac{1}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}&\frac{20}{20\left(-\frac{1}{30}\right)-\left(-1\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}-\frac{1}{10}&3\\-3&60\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}0\\\frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}3\times \frac{8}{3}\\60\times \frac{8}{3}\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8\\160\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=8,x=160$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{x}{20}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{x}{20}=0$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களையும் 20-ஆல் பெருக்கவும்.

$$20y-x=0$$

இரண்டாவது சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். 80+x-ஐ \frac{1}{30}-ஆல் பெருக்க, பங்கீட்டுக் குணத்தைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y=\frac{8}{3}+\frac{1}{30}x$$

இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{30}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$20y-x=0,y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}$$

20y மற்றும் y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 20-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$20y-x=0,20y+20\left(-\frac{1}{30}\right)x=20\times \frac{8}{3}$$

எளிமையாக்கவும்.

$$20y-x=0,20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 20y-x=0-இலிருந்து 20y-\frac{2}{3}x=\frac{160}{3}-ஐக் கழிக்கவும்.

$$20y-20y-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

-20y-க்கு 20y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 20y மற்றும் -20y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-x+\frac{2}{3}x=-\frac{160}{3}$$

\frac{2x}{3}-க்கு -x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-\frac{1}{3}x=-\frac{160}{3}$$

இரு பக்கங்களையும் -3-ஆல் பெருக்கவும்.

$$x=160$$

y-\frac{1}{30}x=\frac{8}{3}-இல் x-க்கு 160-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y-\frac{1}{30}\times 160=\frac{8}{3}$$

160-ஐ -\frac{1}{30} முறை பெருக்கவும்.

$$y-\frac{16}{3}=\frac{8}{3}$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{16}{3}-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=8$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=8,x=160$$