{l}{y=1/2x+1}{2y+3x=-2}-ஐ தீர்க்கவும்

$$\left. \begin{array} { l } { y = \frac { 1 } { 2 } x + 1 } \\ { 2 y + 3 x = - 2 } \end{array} \right.$$

y, x-க்காகத் தீர்க்கவும்

$$x=-1$$

$$y=\frac{1}{2}=0.5$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

பிரதியீட்டைப் பயன்படுத்தி சமன்பாடுகளின் இணையைத் தீர்ப்பதற்கு, முதலில் மாறிகளில் ஒன்றுக்கான சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தீர்க்கவும். பிறகு, மற்ற சமன்பாட்டில் அந்த மாறிக்கான முடிவைப் பிரதியிடவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

சமன்பாடுகளில் ஒன்றைத் தேர்வுசெய்து, சமக் குறியின் இடது பக்கத்தில் y-ஐத் தனிப்படுத்தி y-க்காக இதைத் தீர்க்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் \frac{x}{2}-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{1}{2}x+1$$

பிற சமன்பாடு 2y+3x=-2-இல் y-க்கு \frac{x}{2}+1-ஐப் பிரதியிடவும்.

$$2\left(\frac{1}{2}x+1\right)+3x=-2$$

\frac{x}{2}+1-ஐ 2 முறை பெருக்கவும்.

$$x+2+3x=-2$$

3x-க்கு x-ஐக் கூட்டவும்.

$$4x+2=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களில் இருந்தும் 2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$4x=-4$$

இரு பக்கங்களையும் 4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-1$$

y=\frac{1}{2}x+1-இல் x-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$y=\frac{1}{2}\left(-1\right)+1$$

-1-ஐ \frac{1}{2} முறை பெருக்கவும்.

$$y=-\frac{1}{2}+1$$

-\frac{1}{2}-க்கு 1-ஐக் கூட்டவும்.

$$y=\frac{1}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

அணிகளைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

தரநிலையான வடிவத்தில் சமன்பாடுகளை இட்டு, சமன்பாடுகளின் தொகுதியைத் தீர்க்க, அணிகளைப் பயன்படுத்தவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

சமன்பாடுகளை அணி வடிவத்தில் எழுதவும்.

$$\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)-இன் தலைகீழ் அணி மூலம் சமன்பாட்டை இடது பெருக்கம் செய்யவும்.

$$inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

அணியின் மதிப்பும், அதன் தலைகீழியும் முற்றொருமை அணியாகும்.

$$\left(\begin{matrix}1&0\\0&1\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளை, சமக் குறிக்கு இடது கை புறம் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=inverse(\left(\begin{matrix}1&-\frac{1}{2}\\2&3\end{matrix}\right))\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

2\times 2 \left(\begin{matrix}a&b\\c&d\end{matrix}\right)அணிக்கு, நேர்மாறு அணி \left(\begin{matrix}\frac{d}{ad-bc}&\frac{-b}{ad-bc}\\\frac{-c}{ad-bc}&\frac{a}{ad-bc}\end{matrix}\right) ஆகும், எனவே அணி சமன்பாட்டை பெருக்கல் அணியாகவும் மாற்றி எழுதலாம்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&-\frac{-\frac{1}{2}}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\\-\frac{2}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}&\frac{1}{3-\left(-\frac{1}{2}\times 2\right)}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}&\frac{1}{8}\\-\frac{1}{2}&\frac{1}{4}\end{matrix}\right)\left(\begin{matrix}1\\-2\end{matrix}\right)$$

அணிகளைப் பெருக்கவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{3}{4}+\frac{1}{8}\left(-2\right)\\-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}\left(-2\right)\end{matrix}\right)$$

எண்கணிதத்தைச் செய்யவும்.

$$\left(\begin{matrix}y\\x\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}\frac{1}{2}\\-1\end{matrix}\right)$$

அணிக் கூறுகள் y மற்றும் x-ஐப் பிரித்தெடுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$

நீக்குதலைப் பயன்படுத்துகின்ற படிகள்

முதல் சமன்பாட்டைக் கருத்தில் கொள்ளவும். இரு பக்கங்களில் இருந்தும் \frac{1}{2}x-ஐக் கழிக்கவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=1$$

நீக்கிவிடுதல் மூலம் தீர்ப்பதற்கு, மாறிகளில் ஒன்றின் குணங்கள் இரு சமன்பாடுகளிலும் சமமாக இருக்க வேண்டும், எனவே ஒரு சமன்பாட்டை மற்ற சமன்பாட்டிலிருந்து கழிக்கும் போது, அந்த மாறியை ரத்துசெய்யவும்.

$$y-\frac{1}{2}x=1,2y+3x=-2$$

y மற்றும் 2y-ஐச் சமமாக்க, முதல் சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 2-ஆலும் இரண்டாவது சமன்பாட்டின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலுமுள்ள எல்லா உறுப்புகளையும் 1-ஆலும் பெருக்கவும்.

$$2y+2\left(-\frac{1}{2}\right)x=2,2y+3x=-2$$

எளிமையாக்கவும்.

$$2y-x=2,2y+3x=-2$$

சமக் குறியின் ஒவ்வொரு பக்கத்திலும் உள்ள ஒரே மாதிரியான உறுப்புகளைக் கழிப்பதன் மூலம் 2y-x=2-இலிருந்து 2y+3x=-2-ஐக் கழிக்கவும்.

$$2y-2y-x-3x=2+2$$

-2y-க்கு 2y-ஐக் கூட்டவும். விதிகள் 2y மற்றும் -2y ஆகியவை ரத்து செய்யப்படுகின்றன, எனவே தீர்க்கக்கூடிய ஒரேயொரு மாறியைக் கொண்ட சமன்பாட்டை விட்டுவைக்கிறது.

$$-x-3x=2+2$$

-3x-க்கு -x-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4x=2+2$$

2-க்கு 2-ஐக் கூட்டவும்.

$$-4x=4$$

இரு பக்கங்களையும் -4-ஆல் வகுக்கவும்.

$$x=-1$$

2y+3x=-2-இல் x-க்கு -1-ஐப் பிரதியிடவும். முடிவாகக் கிடைக்கின்ற சமன்பாட்டில் ஒரு மாறி மட்டுமே உள்ளதால், நேரடியாக y-க்குத் தீர்க்கலாம்.

$$2y+3\left(-1\right)=-2$$

-1-ஐ 3 முறை பெருக்கவும்.

$$2y-3=-2$$

சமன்பாட்டின் இரு பக்கங்களிலும் 3-ஐக் கூட்டவும்.

$$2y=1$$

இரு பக்கங்களையும் 2-ஆல் வகுக்கவும்.

$$y=\frac{1}{2}$$

இப்போது அமைப்பு சரிசெய்யப்பட்டது.

$$y=\frac{1}{2},x=-1$$